1. Esboce o gráfico da função F dada por

f) F x = ∫ - 5 x f t d t     onde     f t = 0         s e       t ≥ 1 t 2     s e       t < 1  

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, precisamos integrar e ver qual o jeitão da função F ( x ) . Como estamos integrando f ( t ) vamos dar uma olhada nela:

f t = 0         s e       t ≥ 1 t 2     s e       t < 1

Reescrevendo, temos:

f t = 0         s e       t ≤ - 1 t 2     s e     - 1 < t < 1 0         s e       t ≥ 1

Como f ( t ) é limitada e descontínua apenas nos pontos t = - 1 e t = 1 . Então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se x ≤ - 1 :

F x = ∫ - 5 x f t d t

Se - 1 < x < 1 :

F x = ∫ - 5 - 1 f t d t + ∫ - 1 x f t d t

Se x ≥ 1 :

F x = ∫ - 5 - 1 f t d t + ∫ - 1 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Passo 2

O primeiro caso é o seguinte:

Para t ≤ 1 :

f t = 0

Então,

F x = ∫ - 5 x 0 × d t

Logo,

F x = 0

Agora vamos ver o segundo caso:

F x = ∫ - 5 - 1 0 × d t + ∫ - 1 x t 2 d t

Integrando:

F x = 0 ∫ - 5 - 1 d t + t 3 3 | - 1 x

Fazendo as contas:

F x = 0 + x 3 3 - - 1 3 = x 3 + 1 3

Passo 3

Por último, temos:

F x = ∫ - 5 - 1 f t d t + ∫ - 1 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Logo,

F x = 0 × ∫ - 5 - 1 d t + ∫ - 1 1 t 2 d t + 0 × ∫ 1 x d t

Integrando:

F x = 0 + x 3 3 | - 1 1 + 0

Portanto,

F x = 1 3 - - 1 3 3 → F ( x ) = 2 3

Juntando tudo, temos:

F x = 0 ,                           x ≤ - 1 x 3 + 1 3 ,       - 1 < x < 1 2 3 ,                               x ≥ 1  

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados