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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 1f

  1. Esboce o gráfico da função F dada por

f) F (x) = int_(- 5)^x f (t) d t onde f (t) = {[[0 s e |t| >= 1],[t^2 s e |t| < 1]])

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, precisamos integrar e ver qual o jeitão da função F ( x ) . Como estamos integrando f ( t ) vamos dar uma olhada nela:

f (t) = {[[0 s e |t| >= 1],[t^2 s e |t| < 1]])

Reescrevendo, temos:

f (t) = {[[0 s e t <= - 1],[t^2 s e - 1 < t < 1],[0 s e t >= 1]])

Como f ( t ) é limitada e descontínua apenas nos pontos t = - 1 e t = 1 . Então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se x <= - 1 :

F (x) = int_(- 5)^x f (t) d t

Se - 1 < x < 1 :

F (x) = int_(- 5)^(- 1) f (t) d t + int_(- 1)^x f (t) d t

Se x >= 1 :

F (x) = int_(- 5)^(- 1) f (t) d t + int_(- 1)^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Passo 2

O primeiro caso é o seguinte:

Para t <= 1 :

f (t) = 0

Então,

F (x) = int_(- 5)^x 0 xx d t

Logo,

F (x) = 0

Agora vamos ver o segundo caso:

F (x) = int_(- 5)^(- 1) 0 xx d t + int_(- 1)^x t^2 d t

Integrando:

F (x) = 0 int_(- 5)^(- 1) d t + (t^3)/(3) |_(- 1)^x

Fazendo as contas:

F (x) = 0 + (x^3)/(3) - (- (1)/(3)) = (x^3 + 1)/(3)

Passo 3

Por último, temos:

F (x) = int_(- 5)^(- 1) f (t) d t + int_(- 1)^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Logo,

F (x) = 0 xx int_(- 5)^(- 1) d t + int_(- 1)^1 t^2 d t + 0 xx int_1^x d t

Integrando:

F (x) = 0 + (x^3)/(3) |_(- 1)^1 + 0

Portanto,

F (x) = (1)/(3) - ((- 1)^3)/(3) -> F ( x ) = (2)/(3)

Juntando tudo, temos:

F (x) = {[[0 , x <= - 1],[[[(x^3 + 1)/(3),,,,,,-,1,<,x,<,1],[(2)/(3),,,,,,,,,,,,,,,,,,x,>=,1]]]])

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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