Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 14
Sejam , e . Suponha que . Calcule .
Passo 1
A questão fornecer uma função , onde e são funções de e :
Invertendo essas relações:
Assim,
Devemos calcular a segunda derivada de com relação a , para isso precisamos calcular inicialmente a primeira derivada:
Note que
Assim,
Por simplicidade, vamos chamar
Assim,
Passo 2
Agora que temos a primeira derivada, vamos achar a segunda:
Assim, pela regra do produto:
Como
Assim,
Passo 3
Agora vamos focar no termo :
Assim,
Observe que podemos deixar as coisas um pouquinho mais simples se lembrarmos que
Portanto:
Só nos resta agora calcular a expressão
Passo 4
Vamos achar primeiro :
O primeiro termo sai pela regra do produto:
Já a o segundo termo é mais simples:
Juntando tudo, obtemos
Passo 5
Agora vamos procurar as derivadas de com relação a e :
Assim,
Com relação a :
Supondo que as derivadas mistas podem ser trocadas:
Assim, temos que
Assim,
Mas do enunciado do problema, temos que
Assim, a expressão se simplifica e obtemos
Passo 6
Eu sei que nessa altura você deve ter esquecido o que queremos fazer no problema, mas lembre-se que por enquanto queremos achar:
Nos passos anteriores achamos
Substituindo essas duas expressões, achamos :
Sim, depois de tanta conta obtivemos
Assim, como
Chegamos em