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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1g

Calcule

g) int int int_B d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= z <= 2 * x + 2 * y - 1

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B d x * d y * d z = int int_K [int_(x^2 + y^2)^(2 * x + 2 * y - 1) d z] * d x * d y

Temos que K para esse caso será dado pela intersecção entre a circunferência e o plano. Resolvendo, chegaremos que K será:

2 * x + 2 * y - 1 = x^2 + y^2

x^2 - 2 * x + y^2 - 2 * y = 0

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

Assim, K será esse conjunto encontrado. Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = rho * cos theta + 1

y = rho * sin theta + 1

Como é um circulo, temos que theta irá variar de 0 <= theta <= 2 * pi . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 <= rho <= 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K [(2 * x + 2 * y - 1) - (x^2 + y^2)] * d x * d y = int int_K (1 - [(x - 1)^2 + (y - 1)^2]) * d x * d y

= int_0^(2 * pi) int_0^1 (1 - [(rho * cos theta - 1 + 1)^2 + (rho * sin theta - 1 + 1)^2]) * rho * d rho * d theta =

= int_0^(2 * pi) int_0^1 (1 - rho^2) * rho * d rho * d theta = (pi)/(2)

Resposta

int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z = (pi)/(2)

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