Calcule

g) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 ≤ z ≤ 2 \* x + 2 \* y - 1

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1 d z ⋅ d x ⋅ d y

Temos que K para esse caso será dado pela intersecção entre a circunferência e o plano. Resolvendo, chegaremos que K será:

2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1 = x 2 + y 2

x 2 - 2 ⋅ x + y 2 - 2 ⋅ y = 0

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

Assim, K será esse conjunto encontrado. Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ + 1

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ + 1

Como é um circulo, temos que θ irá variar de 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 ≤ ρ ≤ 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K 2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1 - x 2 + y 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 1 - x - 1 2 + y - 1 2 ⋅ d x ⋅ d y

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 1 - ρ ⋅ cos ⁡ θ - 1 + 1 2 + ρ ⋅ sin ⁡ θ - 1 + 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 1 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = π 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = π 2

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