Calcule

e) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= z <= 2 \* x .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 2 ⋅ x d z ⋅ d x ⋅ d y

Onde K será o circulo dado por x 2 + y 2 - 2 ⋅ x ≤ 0 , que, após completarmos quadrado, ficará x - 1 2 + y 2 ≤ 1 .

Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ + 1

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

Como é um circulo, temos que θ irá variar de 0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 ≤ ρ ≤ 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K ( 2 ⋅ x - x 2 - y 2 ) ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K ( 1 - x - 1 2 + y 2 ) ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 1 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 1 ρ ⋅ d ρ - ∫ 0 1 ρ 3 ⋅ d ρ =

= 2 ⋅ π ⋅ 1 2 - 1 4 = π 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = π 2

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