Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1e

Calcule

e) int int int_B d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= z <= 2 * x .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Conseguimos notar que z varia em um intervalo dado já. Assim, podemos escrever a integral tripla como

int int int_B d x * d y * d z = int int_K [int_(x^2 + y^2)^(2 * x) d z] * d x * d y

Onde K será o circulo dado por x^2 + y^2 - 2 * x <= 0 , que, após completarmos quadrado, ficará (x - 1)^2 + y^2 <= 1 .

Podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares para facilitar o calculo. Assim, temos que

x = rho * cos theta + 1

y = rho * sin theta

Como é um circulo, temos que theta irá variar de 0 <= theta <= 2 * pi . Se substituirmos as transformações que fizemos em K , teremos que 0 <= rho <= 1 . O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K ( 2 * x - x^2 - y^2 ) * d x * d y = int int_K ( 1 - [(x - 1)^2 + y^2] ) * d x * d y =

= int_0^(2 * pi) int_0^1 (1 - rho^2) * rho * d rho * d theta = int_0^(2 * pi) d theta * (int_0^1 rho * d rho - int_0^1 rho^3 * d rho) =

= 2 * pi * ((1)/(2) - (1)/(4)) = (pi)/(2)

Resposta

int int int_B d x * d y * d z = (pi)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)e) x 2 + y 2 ≤ 4 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)m) x 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + z 2 ≤ a 2a0
Calcule a massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 , cuja densidade no ponto x , y , z é a soma das coordenadas.
Calcule a massa sólido x + y + z ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo a densidaded dada por x , y , z = x + y .
Calcule a massa do cone x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 , sendo a densidade no ponto x , y , z proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z