Calcule

j) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= 1 , x^2 + y^2 + z^2 <= 4 e z >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Se substituirmos o intervalo dado para x 2 + y 2 = 1 no intervalo de z ficamos com:

∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K 2 ⋅ ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y

Observando o domínio em K teremos que o conjunto será dado por x 2 + y 2 ≤ 1 . Assim, se aplicarmos uma transformação para coordenadas polares, nossos intervalos de integração ficarão

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

0 ≤ ρ ≤ 1

O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Finalmente podemos resolver a integral, que será

∫ ∫ K z 2 0 4 - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K 4 - x 2 - y 2 ⋅ d x ⋅ d y = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 4 - ρ 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ =

= 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ ρ 2 2 - ρ 4 4 0 1 = 2 ⋅ π ⋅ 2 - 1 4 = 4 ⋅ π - π 2 = 7 ⋅ π 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 7 ⋅ π 2

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