Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1j
Calcule
j) onde é o conjunto , e .
Passo 1
Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.
Passo 2
Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Se substituirmos o intervalo dado para no intervalo de ficamos com:
Observando o domínio em teremos que o conjunto será dado por . Assim, se aplicarmos uma transformação para coordenadas polares, nossos intervalos de integração ficarão
O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde . Finalmente podemos resolver a integral, que será
Resposta
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Calcule
Calculef) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculeq) ∫ ∫ ∫ B cos z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .
Calculeh) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .