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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1j

Calcule

j) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 <= 1 , x^2 + y^2 + z^2 <= 4 e z >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos reduzir o problema de uma integral tripla para uma dupla analisando os limites de integração para cada variável. Após reduzirmos para uma forma simplificada, vamos encontrar qual é o novo conjunto K , aplicando, caso necessário, uma transformação de variável.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vemos que a integral dada pode ser reduzida. Se substituirmos o intervalo dado para x^2 + y^2 = 1 no intervalo de z ficamos com:

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = int int_K 2 * [int_0^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) z * d z] * d x * d y

Observando o domínio em K teremos que o conjunto será dado por x^2 + y^2 <= 1 . Assim, se aplicarmos uma transformação para coordenadas polares, nossos intervalos de integração ficarão

x = rho * cos theta

y = rho * sin theta

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= rho <= 1

O jacobiano dá transformação será o dado pelas coordenadas polares, onde d x * d y = rho * d rho * d theta . Finalmente podemos resolver a integral, que será

int int_K [z^2]_0^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) * d x * d y = int int_K (4 - x^2 - y^2) * d x * d y = int_0^(2 * pi) int_0^1 (4 - rho^2) * rho * d rho * d theta =

= 2 * pi * (4 * (rho^2)/(2) - (rho^4)/(4))_0^1 = 2 * pi * (2 - (1)/(4)) = 4 * pi - (pi)/(2) = (7 * pi)/(2)

Resposta

int int int_B 2 * z * d x * d y * d z = (7 * pi)/(2)

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Calcule
Calculef) int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z onde B é o cilindro x^2 + y^2 = 1 , 0 = z = 1 .
Calculeq) int int int_B cos z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 0 = x = (pi)/(2) , 0 = y = (pi)/(2) e x - y = z = x + y .
Calculeh) int int int_B y * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + 4 * y^2 = 1 , 0 = z = 1 .