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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1m

Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:

m) (1)/(1 + x^2 + 2 x y + y^2)

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

int_0^1 int_1^2 (1)/(1 + x^2 + 2 x y + y^2) d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , e vamos considerar o y constante por enquanto...

Vamos começar fazendo o seguinte:

int_0^1 int_1^2 (1)/(1 + (x + y)^2) d x d y

Show! Agora vamos olhar pra integral em x

int_1^2 (1)/(1 + (x + y)^2) d x

Para fazer essa integral vamos fazer a seguinte substituição

u = x + y -> d u = d x

E os limites passam a ser

x = 1 -> u = 1 + y

x = 2 -> u = 2 + y

Assim a integral fica

int_(1 + y)^(2 + y) (1)/(1 + u^2) d u

Reconhece essa integral? Essa é uma chatinha que é dada por

int (1)/(1 + u^2) d u = arctan u

Se você não lembra dessa integral é só procurar no nosso site no material de integrais simples!

Agora vamos aplicar os limites de integração

int_(1 + y)^(2 + y) (1)/(1 + u^2) d u = arctan (2 + y) - arctan (1 + y)

Show! A nossa integral original agora passa a ser

int_0^1 (arctan (2 + y) - arctan (1 + y)) d y

Passo 2

Agora temos que fazer essa integral com arcotangente!

Pra fazer essa integralzinha vamos calcular primeiro

int arctan (v) d v

Depois eu relaciono com o que a gente tem fazendo uma substituição, belezan ?

Pra fazer essa integral em v vamos ter que fazer uma integral por partes rs

int f g ' d v = f g - int f ' g d v

No nosso caso vamos fazer com que

f = arctan v -> f^' = (1)/(1 + v^2)

g^' = 1 -> g = v

Assim

int arctan v d v = v arctan (v) - int (1)/(1 + v^2) v d v

Essa segunda integral é mais tranquila de integrar! Só precisa de uma substituiçãozinha hehe

int (v d v)/(1 + v^2)

w = 1 + v^2 -> d w = 2 v d v

int (v d v)/(1 + v^2) = int (d w // 2)/(w) = (1)/(2) ln w

Voltando para v

int (v d v)/(1 + v^2) = (1)/(2) ln (1 + v^2)

Agora podemos voltar pra nossa integral de arcotangente!

int arctan ( v ) d v = v arctan (v) + (1)/(2) ln (1 + v^2)

Show! Já temos esse negócio pronto pra usar!

Passo 3

No final do passo 1 chegamos a

int_0^1 (arctan (2 + y) - arctan (1 + y)) d y

Vamos calcular uma de cada vez. A primeira

int_0^1 arctan (2 + y) d y

Comparando com o que a gente achou no passo 2, vamos ter v = 2 + y , d v = d y e os limites passam a ser v = 2 + 0 = 2 e v = 2 + 1 = 3

int_2^3 arctan ( v ) d v = [v arctan (v) + (1)/(2) ln (1 + v^2)]_2^3

= 3 arctan (3) + (1)/(2) ln (1 + 3^2) - 2 arctan (2) - (1)/(2) ln (1 + 2^2)

= 3 arctan (3) - 2 arctan (2) + (1)/(2) ln (10) - (1)/(2) ln (5)

Já na segunda, vamos ter v = 1 + y , d v = d y e os limites são v = 1 + 0 = 1 e v = 1 + 1 = 2 , assim

int_0^1 arctan (1 + y) d y = [v arctan (v) + (1)/(2) ln (1 + v^2)]_1^2

= 2 arctan (2) + (1)/(2) ln (1 + 2^2) - arctan (1) - (1)/(2) ln (1 + 1^2)

= 2 arctan (2) - arctan (1) + (1)/(2) ln (5) - (1)/(2) ln (2)

Passo 4

Agora é só juntar os resultados ^^

int_0^1 (arctan (2 + y) - arctan (1 + y)) d y

= 3 arctan (3) - 2 arctan (2) + (1)/(2) ln (10) - (1)/(2) ln (5) - (2 arctan (2) - arctan (1) + (1)/(2) ln (5) - (1)/(2) ln (2))

Dando uma simplificada

3 arctan (3) - 4 arctan (2) + arctan (1) + (1)/(2) ln (10) - ln (5) + (1)/(2) ln (2)

Show! Finalmente chegamos na resposta :D

Resposta

3 arctan (3) - 4 arctan (2) + arctan (1) + (1)/(2) ln (10) - ln (5) + (1)/(2) ln (2)

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