Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y ,   sendo f(x, y) igual a:

m) 1 / (1 + x^2 + 2xy + y^2)

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

∫ 0 1 ∫ 1 2   1 1 + x 2 + 2 x y + y 2 d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , e vamos considerar o y constante por enquanto...

Vamos começar fazendo o seguinte:

∫ 0 1 ∫ 1 2   1 1 + x + y 2 d x d y

Show! Agora vamos olhar pra integral em x

∫ 1 2 1 1 + x + y 2 d x

Para fazer essa integral vamos fazer a seguinte substituição

u = x + y → d u = d x

E os limites passam a ser

x = 1 → u = 1 + y

x = 2 → u = 2 + y

Assim a integral fica

∫ 1 + y 2 + y 1 1 + u 2 d u

Reconhece essa integral? Essa é uma chatinha que é dada por

∫ 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ u

Se você não lembra dessa integral é só procurar no nosso site no material de integrais simples!

Agora vamos aplicar os limites de integração

∫ 1 + y 2 + y 1 1 + u 2 d u = arctan ⁡ 2 + y - arctan ⁡ 1 + y

Show! A nossa integral original agora passa a ser

∫ 0 1 arctan ⁡ 2 + y - arctan ⁡ 1 + y d y

Passo 2

Agora temos que fazer essa integral com arcotangente!

Pra fazer essa integralzinha vamos calcular primeiro

∫ arctan ⁡ v d v

Depois eu relaciono com o que a gente tem fazendo uma substituição, belezan ?

Pra fazer essa integral em v vamos ter que fazer uma integral por partes rs

∫ f g ' d v = f g - ∫ f ' g d v

No nosso caso vamos fazer com que

f = arctan ⁡ v → f ' = 1 1 + v 2

g ' = 1 → g = v

Assim

∫ arctan ⁡ v d v = v arctan ⁡ v - ∫ 1 1 + v 2 v d v

Essa segunda integral é mais tranquila de integrar! Só precisa de uma substituiçãozinha hehe

∫ v d v 1 + v 2

w = 1 + v 2 → d w = 2 v d v

∫ v d v 1 + v 2 = ∫ d w / 2 w = 1 2 ln ⁡ w

Voltando para v

∫ v d v 1 + v 2 = 1 2 ln ⁡ 1 + v 2

Agora podemos voltar pra nossa integral de arcotangente!

∫ arctan ⁡ ( v ) d v = v arctan ⁡ v + 1 2 ln ⁡ 1 + v 2

Show! Já temos esse negócio pronto pra usar!

Passo 3

No final do passo 1 chegamos a

∫ 0 1 arctan ⁡ 2 + y - arctan ⁡ 1 + y d y

Vamos calcular uma de cada vez. A primeira

∫ 0 1 arctan ⁡ 2 + y d y

Comparando com o que a gente achou no passo 2, vamos ter v = 2 + y , d v = d y e os limites passam a ser v = 2 + 0 = 2 e v = 2 + 1 = 3

∫ 2 3 arctan ⁡ ( v ) d v = v arctan ⁡ v + 1 2 ln ⁡ 1 + v 2 2 3

= 3 arctan ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 1 + 3 2 - 2 arctan ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 2 2

= 3 arctan ⁡ 3 - 2 arctan ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 10 - 1 2 ln ⁡ 5

Já na segunda, vamos ter v = 1 + y , d v = d y e os limites são v = 1 + 0 = 1 e v = 1 + 1 = 2 , assim

∫ 0 1 arctan ⁡ 1 + y d y = v arctan ⁡ v + 1 2 ln ⁡ 1 + v 2 1 2

= 2 arctan ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2 2 - arctan ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 + 1 2

= 2 arctan ⁡ 2 - arctan ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 5 - 1 2 ln ⁡ 2

Passo 4

Agora é só juntar os resultados ^^

∫ 0 1 arctan ⁡ 2 + y - arctan ⁡ 1 + y d y

= 3 arctan ⁡ 3 - 2 arctan ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 10 - 1 2 ln ⁡ 5 - 2 arctan ⁡ 2 - arctan ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 5 - 1 2 ln ⁡ 2

Dando uma simplificada

3 arctan ⁡ 3 - 4 arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 10 - ln ⁡ 5 + 1 2 ln ⁡ 2

Show! Finalmente chegamos na resposta :D

Resposta

3 arctan ⁡ 3 - 4 arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 10 - ln ⁡ 5 + 1 2 ln ⁡ 2

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