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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6r

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B ((y)/(x + y^2)) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) ((y)/(x + y^2)) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) ((y)/(x + y^2)) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que os intervalos se darão por:

1 <= x <= 4

E

0 <= y <= sqrt(x)

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_1^4 [int_(y = 0)^(y = sqrt(x)) ((y)/(x + y^2)) d y] d x

Aplicando o método da substituição simples com u = x + y^2 e d u = 2 y d y :

F = int_1^4 [int (1)/(u) ((d u)/(2))] | [[y,=,sqrt(x)],[y,=,0]] d x

F = int_1^4 [(1)/(2) ln u] | [[y,=,sqrt(x)],[y,=,0]] d x

Voltando para a variável original:

F = int_1^4 [(1)/(2) ln (x + y^2)] | [[y,=,sqrt(x)],[y,=,0]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = (1)/(2) int_1^4 [ln (x + x) - ln (x + 0)] d x

F = (1)/(2) int_1^4 [ln (2 x) - ln (x)] d x

Lembrando da propriedade de logaritmos:

log_b a - log_b c = log_b ((a)/(c))

A última equação encontrada pode ser reescrita como:

F = (1)/(2) int_1^4 [ln ((2 x)/(x))] d x = (1)/(2) int_1^4 [ln (2)] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = (ln 2)/(2) [x] | [[x,=,4],[x,=,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (ln 2)/(2) [4 - 1]

F = (3)/(2) ln 2

Resposta

(3)/(2) ln 2

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