Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B y x + y 2 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y x + y 2 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y x + y 2 d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que os intervalos se darão por:

1 ≤ x ≤ 4

E

0 ≤ y ≤ x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 1 4 ∫ y = 0 y = x y x + y 2 d y d x

Aplicando o método da substituição simples com u = x + y 2 e d u = 2 y d y :

F = ∫ 1 4 ∫ 1 u d u 2 | y = x y = 0 d x

F = ∫ 1 4 1 2 ln ⁡ u | y = x y = 0 d x

Voltando para a variável original:

F = ∫ 1 4 1 2 ln ⁡ x + y 2 | y = x y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = 1 2 ∫ 1 4 ln ⁡ x + x - ln ⁡ x + 0 d x

F = 1 2 ∫ 1 4 ln ⁡ 2 x - ln ⁡ x d x

Lembrando da propriedade de logaritmos:

log b ⁡ a - log b ⁡ c = log b ⁡ a c

A última equação encontrada pode ser reescrita como:

F = 1 2 ∫ 1 4 ln ⁡ 2 x x d x = 1 2 ∫ 1 4 ln ⁡ 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = ln ⁡ 2 2 x | x = 4 x = 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F = ln ⁡ 2 2 4 - 1

F = 3 2 ln ⁡ 2

Resposta

3 2 ln ⁡ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados