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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6q

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (x) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (x) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (x) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra muda a partir do ponto onde elas se cruzam.

Dessa forma, para a primeira região:

- 1 <= x <= 0

E

x^2 <= y <= x + 2

Para a região I I :

0 <= x <= 1

E

x <= y <= x + 2

Por fim, para a região I I I :

1 <= x <= 2

E

x^2 <= y <= x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F_1 = int_(- 1)^0 [int_(y = x^2)^(y = x + 2) (x) d y] d x

F_1 = int_(- 1)^0 [x y] | [[y,=,x,+,2],[y,=,x^2]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F_1 = int_(- 1)^0 x [x + 2 - x^2] d x

F_1 = int_(- 1)^0 [- x^3 + x^2 + 2 x] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F_1 = [- (x^4)/(4) + (x^3)/(3) + x^2] | [[x,=,0],[x,=,-,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F_1 = [(1)/(4) + (1)/(3) - 1]

F_1 = - (5)/(12)

Passo 4

Em relação à segunda região:

F_2 = int_0^1 [int_(y = x)^(y = x + 2) (x) d y] d x

F_2 = int_0^1 [x y] | [[y,=,x,+,2],[y,=,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F_2 = int_0^1 x [x + 2 - x] d x

F_2 = int_0^1 [2 x] d x

Passo 5

Fazendo a integração em relação a x :

F_2 = [x^2] | [[x,=,1],[x,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F_2 = 1

Passo 6

Por último, para a região I I I :

F_3 = int_1^2 [int_(y = x^2)^(y = x + 2) (x) d y] d x

F_3 = int_1^2 [x y] | [[y,=,x,+,2],[y,=,x^2]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F_3 = int_1^2 x [x + 2 - x^2] d x

F_3 = int_1^2 [- x^3 + x^2 + 2 x] d x

Passo 7

Integrando em relação a x :

F_3 = [- (x^4)/(4) + (x^3)/(3) + x^2] | [[x,=,2],[x,=,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F_3 = [- 4 + (8)/(3) + 4 + (1)/(4) - (1)/(3) - 1]

F_3 = (19)/(12)

Passo 8

Portanto, a resposta final será dada por:

F = F_1 + F_2 + F_3

F = - (5)/(12) + 1 + (19)/(12) = (26)/(12)

F = (13)/(6)

Resposta

(13)/(6)

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