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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6o

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (1) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (1) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (1) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra se mantém durante todo o intervalo. Dessa forma:

0 <= x <= (pi)/(2)

E

1 - c o s x <= y <= s e n x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^(pi // 2) [int_(y = 1 - c o s x)^(y = s e n x) (1) d y] d x

F = int_0^(pi // 2) [y] | [[y,=,s,e,n,x],[y,=,1,-,c,o,s,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_0^(pi // 2) [s e n x - 1 + c o s x] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = [- c o s x + s e n x - x] | [[x,=,(pi)/(2)],[x,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [s e n ((pi)/(2)) - (pi)/(2) + 1]

F = 2 - (pi)/(2)

Resposta

2 - (pi)/(2)

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