Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 15

Expanda como uma série de potências.

Use a parte a) para encontrar a soma da série

Passo 1

Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja , então,

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função , identificando cada um dos termos. Logo,

Agora, vamos substituir o valor e no lugar de colocar na série. Sendo assim, temos:

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

Portanto, o padrão para é:

Sendo assim, a nossa série é

Vamos só fazer uma modificação de variáveis. Se chamarmos um novo de na série anterior, teremos:

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

Vamos comparar a nossa série obtida com a série que queremos descobrir o valor.