Case a função (a) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b com seus mapas de contorno (indicado por I - VI ). Dê razões para sua escolha.

z = x^3 - 3x * y^2

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a entender e a resolver essa atividade.

A gente tem a função:

z = x 3 - 3 x y 2

E deveremos relacionar o gráfico dessa função e a sua superfície de nível, mas para isso deveremos realizar algumas análises sobre a função, seu comportamento, pontos importantes, seu domínio e imagem.

Nessa função, iremos analisar o seu comportamento em alguns pontos, como o que acontece na origem e o que acontece no eixo x O y .

Passo 2

A função não é limitada em z (se fosse função seno e cosseno que limitariam z   em - 1 a 1 ) logo z pode ir sem problemas de - ∞ a + ∞ além de que na origem temos:

z = 0 3 - 3 ⋅ 0 ⋅ 0 2 = 0

Logo z também começa em 0 .

Além de que podemos traçar funções para quando z = 0 de modo que tenhamos as seguintes retas:

0 = x 3 - 3 x y 2

3 x y 2 = x 3

Para x diferente de zero:

y 2 = 1 3 x 2

y = ± 1 3 x

Logo temos duas retas que ditam o comportamento do gráfico.

Fazendo com que o gráfico fique entre essas retas.

O único gráfico que bate com essas características é a da letra A . E a curva de nível que respeita esse gráfico é a de número romano igual a   V I

Note que as linhas de V I criam assíntotas nessas duas retas diagonais.

Resposta

A - V I

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