Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3   c m e o outro, y = 4   c m . Calcule um valor aproximado para a variação Δ z na hipotenusa z , quando x aumenta 0,01   c m e y decresce 0,1   c m .

Passo 1

Podemos calcular a hipotenusa em função dos catetos

z = x 2 + y 2

Para aproximar Δ z vamos encontrar a diferencial

d z = ∂ z ∂ x x , y   d x + ∂ z ∂ y x , y   d y

Calculando as derivadas

∂ z ∂ x x , y = x x 2 + y 2

∂ z ∂ y x , y = y x 2 + y 2

Temos a diferencial

d z = x x 2 + y 2   d x + y x 2 + y 2   d y

Passo 2

Quando x = 3   c m e o outro, y = 4   c m o cateto é

z = 3 2 + 4 4 = 5

E a diferencial

d z = 3 5   d x + 4 5   d y

Aproximando a variação de comprimento do cateto quando x aumenta 0,01   c m e y decresce 0,1   c m , fazemos d x = 0,01 e d y = - 0,1 e temos

Δ z ≈ d z

Δ z ≈ 3 5 ( 0,01 ) + 4 5 - 0,1

Δ z ≈ - 0,0 74

Resposta

Δ z ≈ - 0,074

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