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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 26

Supondo que z = z ( x , y ) é definida implicitamente por f x z , y z = 0 , mostrar que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z .

Passo 1

Bom, pessoal, vamos derivar para encontrar as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ z

∂ z ∂ x = - ∂ f ∂ u ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z

∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ z = - ∂ f ∂ u ⋅ 0 + ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2

Nós queremos validar a expressão dada no enunciado,   x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z . Já encontramos os valores das derivadas parciais de z . Basta substituirmos os valores na expressão agora!

x - ∂ f ∂ u ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 + y - ∂ f ∂ u ⋅ 0 + ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 = z

- x ∂ f ∂ u ⋅ 1 z - y ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 = z

1 z ⋅ - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ u 1 z 2 ∂ f ∂ u - x - ∂ f ∂ v y = z

z ⋅ - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ v - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ v = z

z = z

Pronto, mostramos que a expressão é verdadeira! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
22. Seja g x , y = x f ( x 2 + y , 2 y ,2 x - y ) . Expresse ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g (t) = f (x , y) s e n ( 3 t ) , onde x = 2 t e y = 3 t . Verifique queg^' (t) = 3 f (x , y) cos (3 t) + s e n (3 t) [2 (del f)/(del x) (x , y) + 3 (del f)/(del y) (x , y)]
5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1
13. Prove que a função u = f ( x + a t ,y + b t ) , a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais ∂ u ∂ t = a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y