Supondo que z = z ( x , y ) é definida implicitamente por f x z , y z = 0 , mostrar que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z .

Passo 1

Bom, pessoal, vamos derivar para encontrar as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ z

∂ z ∂ x = - ∂ f ∂ u ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z

∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ z = - ∂ f ∂ u ⋅ 0 + ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2

Nós queremos validar a expressão dada no enunciado,   x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z . Já encontramos os valores das derivadas parciais de z . Basta substituirmos os valores na expressão agora!

x - ∂ f ∂ u ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 + y - ∂ f ∂ u ⋅ 0 + ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 = z

- x ∂ f ∂ u ⋅ 1 z - y ∂ f ∂ v ⋅ 1 z ∂ f ∂ u ⋅ - x z 2 + ∂ f ∂ v ⋅ - y z 2 = z

1 z ⋅ - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ u 1 z 2 ∂ f ∂ u - x - ∂ f ∂ v y = z

z ⋅ - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ v - x ∂ f ∂ u - y ∂ f ∂ v = z

z = z

Pronto, mostramos que a expressão é verdadeira! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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