Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 7
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
Passo 1
Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:
Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.
Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:
Passo 2
Aplique as condições iniciais, e .
Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):
Passo 3
Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!
Chegando em:
Passo 4
Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
As transformações de Laplace de certas funções podem ser encontradas de modo conveniente pelas suas expansões em séries de Taylor.Use a série de Taylor para sen t : sen t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n +
a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que,
Os problemas de 17 a 22 tratam do efeito de uma sequência de impulsos aplicados em um oscilador não amortecido. Suponha que y ″+y=f( t ) ,y ( 0 )=0 ,y '( 0 )=0 . Para cada uma das escolhas para f ( t
a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que,
Proceda como no Problema 23 para o oscilador satisfazendo y ' ' + 0,1 y ' + y = ∑ k = 1 15 δ t - 2 k - 1 π ,y 0 = 0 , y ' 0 = 0 . Note que, exceto pelo termo de amortecimento, esse problema é igual ao