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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 10

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' ' + y ' + 5 4 y = g ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 ;  

g ( t ) =   s e n ( t ) ,   0   ≤   t   < π

g ( t )   =   0 ,   t   ≥   π

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' '   + y ' + 5 4 y } = ℒ { g ( t ) }

ℒ { y ' } '   + ℒ { y ' } + ℒ { 5 4 y } = ℒ { g ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ]   +   [ s Y ( s )   -   y ( 0 ) ] + 5 4 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 π e - s t s e n ( t )   d t   +   ∫ π ∞ e - s t ( 0 )   d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) ]   +   s Y ( s ) + 5 4 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 π e - s t s e n ( t )   d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + s + 5 4 ) Y ( s ) = 1 s ² + 1 + 1 s ² + 1 e - π s

Y ( s ) = 1 ( s ² + 1 ) ( s ² + s + 5 4 ) + 1 ( s ² + 1 ) ( s ² + s + 5 4 ) e - π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 ( s ² + 1 ) ( s ² + s + 5 4 ) = A s + B s ² + 1 + C s + D s ² + s + 5 4

s = 0 :   1 = 5 4 B + D

s = 1 :   1 = 13 4 A + 13 4 B + 2 C + 2 D

s = 2 :   1 = 29 2 A + 29 4 B + 10 C + 5 D

s = 3 :   1 = 159 4 A + 53 4 B + 30 C + 10 D

Resolvendo, chegamos em:

A = - 16 17 ,   B = 4 17 ,   C = 16 17 e D = 12 17

Y ( s ) = ( - 16 17 s + 4 17 s ² + 1 + 16 17 s + 12 17 s ² + s + 5 4 ) + ( - 16 17 s + 4 17 s ² + 1 + 16 17 s + 12 17 s ² + s + 5 4 ) e - π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { - 16 17 s s ² + 1 + 4 17 1 s ² + 1 + 16 17 s + 1 2 ( s + 1 2 ) 2 + 1 + 4 17 1 ( s + 1 2 ) 2 + 1 + [ - 16 17 s s ² + 1 + 4 17 1 s ² + 1 + 16 17 s + 1 2 ( s + 1 2 ) 2 + 1 + 4 17 1 ( s + 1 2 ) 2 + 1 ] e - π s

Chegando em:

y ( t ) = 4 17 ( 4   c o s ( t )   -   s e n ( t )   )   [ H ( t - π ) - 1 ] - 4 17 e - t / 2 ( 4   c o s ( t )   +   s e n ( t )   ) [ e π / 2 H ( t - π ) - 1 ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 4 17 ( 4   c o s ( t )   -   s e n ( t )   )   [ H ( t - π ) - 1 ] - 4 17 e - t / 2 ( 4   c o s ( t )   +   s e n ( t )   ) [ e π / 2 H ( t - π ) - 1 ]

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