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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Encontre uma expressão envolvendo u c ( t ) para uma função g cujo gráfico é uma rampa

crescente de zero em t = t 0 até o valor h em t = t 0 + k , seguida de uma rampa decrescente que

chega a zero em t = t 0 + 2 k .

Passo 1

g ( t ) = h k ( t - t 0 ) H ( t - t 0 ) - h k ( t - t 0 ) H ( t - t 0 - k ) + h k ( t 0 + 2 k - t ) H ( t - t 0 - k ) - h k ( t 0 + 2 k - t ) H ( t - t 0 - 2 k )

Para o primeiro termo, a função Heaviside H ( t - t 0 ) , definida como 1 se t > t 0 e 0 se t < t 0 , torna a função começa a aumentar em t = t 0 . O fator de ( h / k ) ( t - t 0 ) faz com que ele atinja uma altura de h em t = t 0 + k . O segundo termo, que é ativado quando t = t 0 + k , cancela o primeiro termo.

O terceiro termo faz com que a função comece a diminuir em t = t 0 . O fator de ( h / k ) ( t 0 + 2 k - t ) faz com que f (t) caia para zero em t = t 0 + 2 k . O quarto termo, que é ativado em t = t 0 + 2 k cancela o terceiro mandato. g (t) também pode ser escrito como.

g ( t ) = h k ( t - t 0 ) [ u t 0 ( t ) - u t 0 + k ( t ) ] + h k ( t 0 + 2 k - t ) [ u t 0 + k ( t ) - u t 0 + 2 k ( t ) ] .

Abaixo está uma amostra de g(t) versus t se h=1, k=2 e t 0 = 3

Resposta

g ( t ) = h k ( t - t 0 ) [ u t 0 ( t ) - u t 0 + k ( t ) ] + h k ( t 0 + 2 k - t ) [ u t 0 + k ( t ) - u t 0 + 2 k ( t ) ] .

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