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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 13

Considere a função dada por w = x y + z 4 , onde z = z x , y . Admita que ∂ z ∂ x x = 1 y = 1 = 4 e que z = 1 para x = 1   e   y = 1 . Calcule

∂ w ∂ x x = 1 y = 1

Passo 1

Vamos primeiro derivar ambos os lados de w = x y + z 4

∂ w ∂ x = ∂ x y + z 4 ∂ x = ∂ x y ∂ x + ∂ z 4 ∂ x

Como estamos derivando em x , então:

∂ x y ∂ x = y ∂ x ∂ x = y × 1 = y

Já que nesse caso, y é considerado constante e a derivada de x em função de x é 1

E:

∂ z 4 ∂ x = 4 z 3 ∂ z ∂ x

Para esse caso temos z = z x , y , ou seja, z é uma função de x   e   y . Por conta disso a derivada em função de x terá uma derivada da função vezes ∂ z ∂ x

Assim:

∂ w ∂ x = ∂ x y + z 4 ∂ x = ∂ x y ∂ x + ∂ z 4 ∂ x = y + 4 z 3 ∂ z ∂ x

Passo 2

Podemos agora substituir:

∂ w ∂ x = y + 4 z 3 ∂ z ∂ x = 1 + 4 × 1 3 × 4 = 1 + 16 = 17

Resposta

∂ w ∂ x x = 1 y = 1 = 17

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