Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 22
Considere o problema de maximizar a função sujeita à restrição .
(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.
(b) dá um valor maior que o obtido na parte (a) ?
(c) Resolva o problema traçando a equação da restrição e diversas curvas de nível de .
(d) Explique por que o método dos multiplicadores de Lagrange falha em resolver o problema.
(e) Qual é o significado de ?
Passo 1
Oie, vamos para mais uma resolução. Aqui a gente precisa responder diversas perguntas sobre a maximização da função:
Com a restrição:
Para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente utiliza a igualdade:
Em que é o gradiente e é dado por:
Para derivar parcialmente devemos derivar em relação a uma variável e considerar todas as outras com constantes.
Com isso em mãos, a gente encontra os valores de e resolvendo os sistema com a equação da restrição. Iremos então encontrar um ponto critico que deve ser testado na função .
Passo 2
- Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Lembrando que:
Então vamos derivar parcialmente essas funções:
E
Agora para :
E
Sendo assim, nosso multiplicador é:
Então ficamos com três equações:
Passo 3
Isolando e nas duas primeiras equações pra jogar na terceira, temos:
Jogando na equação:
Agora que descobrimos o valor de , podemos calcular o valor para e .
Então, segundo esse método, o máximo seria:
Passo 4
b) Vamos calcular :
Realmente, é um valor maior do que o obtido no item (a) .
Passo 5
- Agora vamos traçar a equação da restrição e diversas curvas de nível de , para traçarmos essas curvas de nível iremos utilizar o GeoGebra, assim como também iremos plotar a equação da restrição.
- O problema de usar multiplicadores de Lagrange aqui é que não existe se ou , por causa do denominador das frações, olha só:
- Já que , ele deve ser um ponto de mínimo. O gráfico a seguir comprova isso:
Veja que para se encontrar a equação da curva de nível de uma função deveremos igualar a função a uma constante e plotar o seu gráfico para diferentes valores de .
Abaixo temos nosso gráfico:
Então vemos aqui que o máximo da função é:
Passo 6
Também o método dos multiplicadores de lagrange identifica pontos onde as curvas de nível de compartilham uma linha tangente comum com a curva de restrição .
Isso normalmente não ocorre em um ponto de extremidade, embora um máximo ou mínimo absoluto possa ocorrer lá
Passo 7
Resposta
(a)
(b) Sim
(c)
(d) não existe para ou
(e) Ponto de mínimo