Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 41
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício 53.
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado do exercício nos diz o seguinte:
“Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser , qual é o maior volume possível?”
Para determinar esse volume, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores que desejamos!!
Pera... mas quem é e quem é nossa restrição ??
Bom... a função será o volume da nossa caixa, ou seja:
Por outro lado, sabemos que a diagonal de um paralelepípedo é dada por:
Assim, a nossa função será dada por:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Isolando das três equações, teremos:
Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉
Passo 5
Bom... igualando as duas primeiras equações, temos:
De forma análoga, se igualarmos a primeira e a terceira expressão, teremos:
Com isso, podemos fazer a seguinte conclusão:
Passo 6
Dessa forma, para calcular as maiores dimensões, podemos aplicar a conclusão do passo anterior em :
Assim, podemos inferir que:
Logo, aplicando em , o máximo volume ocorrerá quando:
😉