Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

Exercício 53.

Passo 1

Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado do exercício 50 nos diz o seguinte:

“Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível?”

Para determinar esse volume, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos à restrição g x , y , z = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y , z = k ), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores que desejamos!!

Pera... mas quem é f e quem é nossa restrição g ??

Bom... a função f será o volume da nossa caixa, ou seja:

f x , y , z = x y z

Por outro lado, sabemos que a diagonal L de um paralelepípedo é dada por:

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

Assim, a nossa função g será dada por:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = x y z

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

f x = ∂ ∂ x   x y z ∴

f x = y z

Derivando em relação a y de forma análoga:

f y = ∂ ∂ y   x y z ∴

f y = x z

E, para z :

f z = ∂ ∂ z   x y z ∴

f z = x y

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = y z ,   x z ,   x y

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + y 2 + z 2 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + y 2 + z 2 ∴

g y = 2 y

E, para z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 + y 2 + z 2 ∴

g z = 2 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z ∴

y z ,   x z ,   x y = λ ⋅ 2 x , 2 y , 2 z

Daí, vamos tirar que:

y z = λ ⋅ 2 x x z = λ ⋅ 2 y x y = λ ⋅ 2 z

Isolando λ das três equações, teremos:

λ = y z 2 x = x z 2 y = x y 2 z

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Bom... igualando as duas primeiras equações, temos:

y z 2 x = x z 2 y ∴

2 x 2 z = 2 y 2 z ∴

x 2 = y 2 ∴

x = y

De forma análoga, se igualarmos a primeira e a terceira expressão, teremos:

y z 2 x = x y 2 z ∴

x = z

Com isso, podemos fazer a seguinte conclusão:

x = y = z

Passo 6

Dessa forma, para calcular as maiores dimensões, podemos aplicar a conclusão do passo anterior em g :

L 2 = x 2 + y 2 + z 2 ∴

L 2 = x 2 + x 2 + x 2 ∴

x 2 = L 2 3 ∴

x = L 3

Assim, podemos inferir que:

y = z = L 3

Logo, aplicando em f , o máximo volume V m á x ocorrerá quando:

V m á x = L 3 3 ∴

V m á x = L 3 3 3

😉

Resposta

V m á x = L 3 3 3

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