A altura h das ondas em mar aberto depende da velocidade v do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela velocidade. Os valores da função h = f v ,   t são apresentados em pés na tabela.

(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂ h ∂ v e ∂ h ∂ t ?

(b) Estime os valores de f v 80 ,   15 e f t 80 ,   15 . Quais são as interpretações práticas desses valores?

(c) Qual parece ser o valor do seguinte limite?

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Passo 1

Oie, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade aqui.

Vamos entender a situação que nos é apresentada. Temos a tabela abaixo:

E nos é dito que essa tabela indica a altura h das ondas do mar aberto, em função da velocidade do vento e do tempo t em horas.

A partir disso, devemos responder o significado da derivada parcial ∂ h ∂ v e ∂ h ∂ t .

Precisaremos também estimar f v 80 ,   15 e f t 80 ,   15 que são as derivadas parciais em relação a v e t , para isso iremos utilizar da seguinte formula:

f x a , b =   lim h → 0 ⁡ f a + h , b - f a , b h

Essa fórmula é utilizada para calcularmos a derivada parcial de uma função em relação a x . Para a derivada parcial a y temos:

f y a , b =   lim h → 0 ⁡ f a , b + h - f a , b h

A última coisa que iremos fazer é analisar o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t

Para isso, deveremos fazer algumas análises em relação a tabela e o comportamento da altura das ondas com o passar do tempo.

Passo 2

(a) Galera, a derivada parcial ∂ h ∂ v representa a taxa de mudança de h quando fixamos t e consideramos h como uma função de v , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a velocidade do vento muda, para uma duração de tempo fixa.

Já a derivada parcial ∂ h ∂ t representa a taxa de mudança de h quando fixamos v e consideramos h como uma função de t , e ela descreve o quão rápido as alturas das ondas mudam quando a duração do tempo muda, mas a velocidade do vento é constante.

(b) Para estimar f v 80 ,   15 vamos fixar t = 15 e calcular as derivadas parciais pela definição para diferentes valores de v seguindo a fórmula:

f v 80 ,   15 = lim h → 0 ⁡ f 80 + h ,   15 - f ( 80 ,   15 ) h

Usando h = 20 e h = - 20 para obter as derivadas parciais nas adjacências do ponto que queremos analisar:

f v 80 ,   15 ≈   ⁡ f 100 ,   15 - f 80 ,   15 20

f v 80 ,   15 = 11,0 - 7,7 20 = 0,165

f v 80 ,   15 ≈   ⁡ f 60 ,   15 - f 80 ,   15 - 20

f v 80 ,   15 = 4,9 - 7,7 - 20 = 0,14

Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:

f v 80 ,   15 ≈ 0,153

Isso significa que, quando um vento de 80 k m h sopra por 15 horas, a altura das ondas deve crescer cerca de 0,153 pés a cada k m / h de incremento na velocidade do vento, com a mesma duração de tempo.

Passo 3

Agora vamos calcular f t 80 ,   15 . Aqui, vamos fixar v = 80 e calcular as derivadas parciais nas adjacências de t = 15 pela definição:

f t 80 ,   15 = lim h → 0 ⁡ f 80 ,   15 + h - f ( 80 ,   15 ) h

Vamos utilizar h = 5 e h = - 5 :

f t 80 ,   15 =   ⁡ f 80 ,   20 - f 80 ,   15 5

f t 80 ,   15 = 8,6 - 7,7 5 = 0,18

f t 80 ,   15 =   ⁡ f 80 ,   10 - f 80 ,   15 - 5

f t 80 ,   15 = 6,4 - 7,7 - 5 = 0,26

Fazendo uma média aritmética entre os dois valores encontrados, podemos considerar:

f t 80 ,   15 ≈ 0,22

Isso significa que, quando um vento de 80 k m h sopra por 15 horas, a altura das ondas deve crescer cerca de 0,22 pés a cada hora de incremento na duração do tempo.

Passo 4

(c) Para valores fixos de v , a função f v ,   t parece crescer em cada vez menores incrementos, se tornando próxima de constante à medida que t cresce.

Então, a correspondente taxa de mudança se aproxima de 0 quanto mais t cresce, então parecemos ter:

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Resposta

(b) f v 80 ,   15 ≈ 0,153                                         f t 80 ,   15 ≈ 0,22

(c) lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha quew = x^2 - y^2 + 4z + t e x + 2z + t = 25. Mostre que cada uma das equações∂w/∂x = 2x - 1 e ∂w/∂x = 2x - 2 fornece ∂w/∂x, dependendo de quais variáveis são escolhidascomo dependentes e quais
Se z = x + f(u) , onde u = x * y , mostre quex * (∂z/∂x) - y * (∂z/∂y) = x
Estabeleça o fato, amplamente utilizado na hidrodinâmica, de que, se f(x, y, z) = 0 , então( ∂x / ∂y )_z ( ∂y / ∂z )_x ( ∂z / ∂x )_y = -1. (Sugestão: expresse todas as derivadas nos termos das derivad
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Seja U = f(P, V, T) a energia interna de um gás que obedece à lei do gás ideal P V = n R T ( n e R constantes
Suponha que a equação g(x, y, z) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g_z ≠ 0 . Mostre que∂z/∂y|_x = - (∂g/∂y) / (∂g/∂z)