Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 25

Nos problemas 24 e 25, use o método indicado no problema 23 para resolver os problemas de valores de contorno dado.

25. u t = u x x - π 2 cos ⁡ π x

u x 0 , t = 0 ,   u 1 , t = 1 ,

u x , 0 = cos ⁡ 3 π x 2 - cos ⁡ π x .

Passo 1

Neste problema temos:

F x = - π 4 c o s π x

Primeiramente devemos encontrar a solução do problema do valor de contorno.

v ' ' = π 2 c o s π x , v ' 0 = 0 ,   v 1 = 1 .

A solução geral é dada por v x = A x + B - c o s π x

Impondo as condições inciais, a solução do PVC é v x = - c o s π x  

Agora façamos w x , t = u x , t + c o s π x .

Isso faz com que w ( x , t ) satisfaça o PVC homogêneo e a condição inicial w x , 0 = cos ⁡ 3 π x 2 - c o s π x - - c o s π x = cos ⁡ 3 π x 2

Passo 2

Nós procuramos pela solução do problema de forma:

w x , t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n ( x )

No qual ϕ n x = 2 cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π x / 2   é a autofunção normalizada do problema homogêneo e

λ n = 2 n - 1 2 π 2 4 ,   n = 1 ,   2 ,   3 … .

Substituindo na equação diferencial por w temos:

∑ n = 1 ∞ b n ' t ϕ n ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n ' ' ( x )

= - ∑ n = 1 ∞ λ n b n t ϕ n ( x )

Como a equação é válida para x entre 0 e 1, temos que:

b n ' t + λ n b n t = 0 ,   n = 1 ,   2 ,   3 …

com b n t = b n 0 e - λ n t

Logo

w x , t = ∑ n = 1 ∞ b n 0 e - λ n t ϕ n ( x )

Passo 3

Impondo a condição incial

2 ∑ n = 1 ∞ b n 0 cos ⁡ 2 x - 1 π x 2 = cos ⁡ 3 π x 2  

Isso faz com que percebamos que todos os coeficientes são zero, exceto b 2 0 = 1 2 . Por isso temos:

w x , t = e - 9 π 2 t 4 cos ⁡ 3 π x 2

Então a solução do PVC incial será

u x , t = e - 9 π 2 t 4 cos ⁡ 3 π x 2 - cos ⁡ π x

Resposta

u x , t = e - 9 π 2 t 4 cos ⁡ 3 π x 2 - cos ⁡ π x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica k 1 e área de seção reta A 1 , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica k 2 e área de seção
Sejam ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x convergir para f ( x ) , em que f ( x )=0 para todo x e
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + 4 π 2 y = a + x , y 0 =
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
Em cada um dos problemas de 6 a 9, determine uma expansão formal em série de autofunções para a solução do problema dado. Suponha que f satisfaz as condições do Teorema 11.3.1. Diga para quais valores