10. Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfícies, de equação abaixo , é horizontal

b.

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

Passo 1

Podemos pensar da seguinte maneira teremos um plano tangente horizontal quando as derivadas parciais da nossa função se anularem. É a mesma ideia de calculo 1. A reta da derivada ficava na horizontal no ponto onde a derivada se anulava, agora que passamos do ponto para o espaço a nossa equação gera um superfície e podemos ter um plano tangente para cada ponto dessa superfície, o plano fica na horizontal dependendo unicamente do valor das derivadas parciais. Beleza? Bora cair dentro

Nossa função é

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

Onde as derivadas parciais são

d z d x = 2 x y 2 + 2

d z d y = 2 y x 2 - 2

Agora precisamos achar os pontos onde as derivadas se anulam

0 = 2 x y 2 + 2

0 = 2 y x 2 - 2

Vamos simplificar esse sistema

0 = x y 2 + 1

0 = y x 2 - 1

Podemos pegar a primeira equação, isolar uma variável e substituir na equação debaixo

x =   - 1 y 2

Agora substituindo

0 = y x 2 - 1

0 = y - 1 y 2 2 - 1

1 = 1 y 3

y = 1

Com isso podemos dizer que

x =   - 1 y 2

x =   - 1

Passo 2

Agora só precisamos descobrir o valor de z, para isso podemos usar nossa equação do enunciado

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

z = 1 + 2 - 1 - 1  

z = 1 - 4 → - 3

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

P = - 1,1 , - 3

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