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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 10b

10. Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfícies, de equação abaixo , é horizontal

b.

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

Passo 1

Podemos pensar da seguinte maneira teremos um plano tangente horizontal quando as derivadas parciais da nossa função se anularem. É a mesma ideia de calculo 1. A reta da derivada ficava na horizontal no ponto onde a derivada se anulava, agora que passamos do ponto para o espaço a nossa equação gera um superfície e podemos ter um plano tangente para cada ponto dessa superfície, o plano fica na horizontal dependendo unicamente do valor das derivadas parciais. Beleza? Bora cair dentro

Nossa função é

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

Onde as derivadas parciais são

d z d x = 2 x y 2 + 2

d z d y = 2 y x 2 - 2

Agora precisamos achar os pontos onde as derivadas se anulam

0 = 2 x y 2 + 2

0 = 2 y x 2 - 2

Vamos simplificar esse sistema

0 = x y 2 + 1

0 = y x 2 - 1

Podemos pegar a primeira equação, isolar uma variável e substituir na equação debaixo

x =   - 1 y 2

Agora substituindo

0 = y x 2 - 1

0 = y - 1 y 2 2 - 1

1 = 1 y 3

y = 1

Com isso podemos dizer que

x =   - 1 y 2

x =   - 1

Passo 2

Agora só precisamos descobrir o valor de z, para isso podemos usar nossa equação do enunciado

z = x 2 y 2 + 2 x - y  

z = 1 + 2 - 1 - 1  

z = 1 - 4 → - 3

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

P = - 1,1 , - 3

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Determine os planos tangentes ao gráfico de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e que contenham o eixo O x .
β é um plano tangente aos gráficos de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e g x , y = - x 2 - y 2 . Mostre que a 2 + b 2 = 1 , sendo a , b , f a , b o ponto em que β tangencia o gráfico de f .
Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 . Seja α o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , b , 1 - a 2 - b 2 , com a0 ,b0 e a 2 + b 21 . Seja V o volume do tetraedro determinado por α e pelos p
Seja z = f x , y diferenciável em ( x 0 , y 0 ) . Seja S a função afim dada por S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c . Suponha que f x , y = S x , y + E x , y Com lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = x ⋅ s e n x + y ( - 1 ,1 ,0 )