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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 32

Considere o triângulo isósceles ABC, com A B = B C . Seja H o ponto médio de A C . Determine P no segmento H B de modo que a soma das distâncias de P aos pontos A , B e C seja a menor possível.

Passo 1

Bem, para isso vamos desenhar o triângulo pedido, porém vamos focar apenas no triângulo retângulo B H C . Podemos descobrir a distância entre o ponto P e o ponto C por Pitágoras, lembrando que chamaos de p a distância B P :

c - p 2 + b 2 = d 2

Dessa forma, a soma das distâncias entre os pontos PA, PB e PC é:

D = 2   d   + p  

Substituindo d :

D = 2   c - p 2 + b 2     + p  

Agora, para acharmos o valor mínimo de D :

d D d p = 2 1 2   - 2 p   1 c - p 2 + b 2 + 1 = 0  

2 p =   c - p 2 + b 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 p 2 =   c - p 2 + b 2

4 p 2 =   c 2 + p 2 - 2 p c   + b 2

3 p 2   + 2 c   p - c 2 + b 2 = 0

Aplicando bhaskara:

p = - c ±   4 c 2 + 3 b 2 3  

Como a distância p não pode ser negativa, temos:

p = - c +   4 c 2 + 3 b 2 3

Resposta

p = - c +   4 c 2 + 3 b 2 3

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