Prove: underset(x -> p)(lim) f (x) = L <=> underset(x -> p)(lim) |f (x) - L| = 0 .

Passo 1

Pela definição precisa de limite, temos que:

underset(x -> p)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se 0 < |x - p| < delta então |f (x) - L| < epsilon

Vamos então supor que:

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se 0 < |x - p| < delta então |(f (x) - L) - 0| < epsilon

Então vamos ter que só acontece se:

underset(x -> p)(lim) |f (x) - L| = 0

No fim temos então que:

underset(x -> p)(lim) f (x) = L <=> {[[AA epsilon > 0 , EE delta > 0],[0 < |x - p| < delta -> |f (x) - L| < epsilon]])

<=>

{[[AA epsilon > 0 , EE delta > 0],[0 < |x - p| < delta -> |(f (x) - L) - 0| < epsilon]])

<=>

underset(x -> p)(lim) |f (x) - L| = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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