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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 28

Se z = f x , y ,   x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , onde f é uma função diferenciável, expressar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y como funções de r e θ .

Passo 1

Vamos lá, pessoal! A função z depende de x e y e, implicitamente, de θ e r . Podemos escrever a derivada de z em relação a r da seguinte forma:

∂ z ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ⋅ cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y ⋅ sen ⁡ θ

Reorganizando a expressão, temos:

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Passo 2

Derivando em relação a θ , temos:

∂ z ∂ θ = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x r - sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r ( cos ⁡ θ )

Reorganizando a expressão, temos:

∂ z ∂ y = 1 r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ

Passo 3

Assim, temos:

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - 1 r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ sen ⁡ θ

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - sen ⁡ θ r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - tan ⁡ θ r ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ x

Vamos lá que é só mais um pouquinho de conta!

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r - tan ⁡ θ r cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ θ - tan 2 ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ x

tan 2 ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r - tan ⁡ θ r cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ θ

∂ z ∂ x tan 2 ⁡ θ + 1 = 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - tan ⁡ θ r ⋅ ∂ z ∂ θ

∂ z ∂ x = 1 cos ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ ∂ z ∂ r - tan ⁡ θ r ⋅ ∂ z ∂ θ

∂ z ∂ x = cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - 1 r sin ⁡ θ ∂ z ∂ θ

Passo 4

Por fim, temos:

∂ z ∂ y = 1 r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + 1 cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - ∂ z ∂ y sen ⁡ θ r sen ⁡ θ

∂ z ∂ y = 1 r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + r tan ⁡ θ ∂ z ∂ r - ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

∂ z ∂ y = 1 r cos ⁡ θ ∂ z ∂ θ + r tan ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r - r tan ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ y

∂ z ∂ y = 1 r cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r - tan 2 ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ y

Vamos lá que é só mais um pouquinho de conta!

∂ z ∂ y tan 2 ⁡ θ + 1 = 1 cos ⁡ θ 1 r ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

∂ z ∂ y = 1 cos ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ 1 r ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

∂ z ∂ y = cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 1 r ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

∂ z ∂ y = cos ⁡ θ 1 r ⋅ ∂ z ∂ θ + tan ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

∂ z ∂ y = cos ⁡ θ r ⋅ ∂ z ∂ θ + sen ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

Resposta

∂ z ∂ x = cos ⁡ θ ∂ z ∂ r - 1 r sin ⁡ θ ∂ z ∂ θ

∂ z ∂ y = cos ⁡ θ r ⋅ ∂ z ∂ θ + sen ⁡ θ ⋅ ∂ z ∂ r

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Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:b) f x , y = 2 x 5 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )
Dada a função f x , y = 2 x + y - 3 ,s ex = 1o uy = 13 ,s ex ≠ 1ey ≠ 1 a) Calcular ∂ f ∂ x ( 1 ,1 ) .b) Calcular ∂ f ∂ y ( 1 ,1 ) .c) f é diferenciável em (1, 1)?
Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :a) f x , y = 2 x 2 - y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:k) f x , y = x 2 + y 2 + 1 , s ex 2 + y 210 , s ex 2 + y 2 ≥ 1
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:c) z = x y 2 x 2 + y 2