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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 30b

Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ x   e ∂ z ∂ y .

b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que z = f ( x , y ) é definida pela equação F x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 - x y

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = 2 x - y

∂ F ∂ z = - 2 z

Passo 2

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ x :

∂ z ∂ x = - 2 x - y - 2 z

∂ z ∂ x = 2 x - y 2 z

Passo 3

A derivada da função F em relação à y é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ y + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ y + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ y = 2 y - x

∂ F ∂ z = - 2 z

Passo 4

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ y :

∂ z ∂ y = - 2 y - x - 2 z

∂ z ∂ y = 2 y - x 2 z

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ z ∂ x = 2 x - y 2 z

∂ z ∂ y = 2 y - x 2 z

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