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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 67

Curvas tangentes Uma curva lisa é tangente à superfície em

um ponto de interseção se seu vetor velocidade é ortogonal a

§ƒ ali.

Mostre que a curva

rstd = 2ti + 2tj + s2t - 1dk

é tangente à superfície x2 + y2 – z = 1 quando t = 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, mostraremos que uma curva suave é tangente à superfície no ponto de intersecção se o seu vetor velocidade e ortogonal ao gradiente f naquele local. Mostraremos que a curva:

r = t i + t j + ( 2 t - 1 ) k ,

É tangente à curva x 2 + y 2 - z = 1 quando t = 1 . Acompanhe!

Passo 2

Começaremos encontrando o vetor para a função r = t i + t j + ( 2 t - 1 ) k , veja:

v = 1 2 t - 1 / 2 i + 1 2 t - 1 / 2 j - 1 4 k .

Passo 3

Agora, usando t = 1 , encontraremos x = 1 , y = 1 , z = - 1 . Logo, a função está sobre o ponto

P 0 = ( 1,1 , 1 )

Passo 4

Agora, fazendo a aplicação de t = 1 em v = 1 2 t - 1 / 2 i + 1 2 t - 1 / 2 j - 1 4 k :

v ( 1 ) = 1 2 i + 1 2 j + 2 k . 

Aqui reescrevemos a função x 2 + y 2 - z = 1 , temos:

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z - 1 = 0 . 

Vamos calcular o ∇ f então:

∇ f = 2 x i + 2 y j - k . 

Aqui, aplicando o ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) , temos:

∇ f ( 1,1 , 1 ) = 2 i + 2 j - k . 

Chegamos à conclusão de que v = ( 1 ) ⋅ ∇ f ( 1,1 , 1 ) = 0 . Assim, a curva é tangente à superfície quando t = 1 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Determine uma função y = y ( x ) cujo gráfico intercepte ortogonalmente as curvas da família x y = c , com x , y0 , atl que y 1 = 1 Y(1)= 2
Determine todas as funções A = {(x , y),, y0} uu {(x , y),, x0} tal que phi (- 1,1) = (pi)/(4) , tal que grad phi (x , y) , = ((- y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))
Seja vec F (x , y) = - (y)/(x^2 + y^2) vec i + (x)/(x^2 + y^2) vec j , (x , y) != (0,0) .Verifique que para todo (x , y) != ( 0,0 ) (del P)/(del y) (x , y) = (del Q)/(del x) ( x , y )
Seja vec F (x , y) = - (y)/(x^2 + y^2) vec i + (x)/(x^2 + y^2) vec j , (x , y) != (0,0) .b) Calcule int_0^(2 pi) F (y (t)) * y^' (t) d t , onde gamma (t) = (cos (t) , s e n (t)) , t in [ 0 , , 2 pi ]
Seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → um campo de forças, com P , Q s funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Seja γ t = ( x t , y t ,t ∈ [ a , b ] , uma curva de classe C 1 , com γ a = γ ( b ) ( γ