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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 10 a

Seja vec F (x , y) = - (y)/(x^2 + y^2) vec i + (x)/(x^2 + y^2) vec j , (x , y) != (0,0) .

  1. Verifique que para todo (x , y) != ( 0,0 )

(del P)/(del y) (x , y) = (del Q)/(del x) ( x , y )

Passo 1

Perceba que nosso trabalho aqui é identificar quem são P e Q e derivar. Então , vamos lá.

Passo 2

Pela definição de campo vetorial

P (x , y) = - (y)/(x^2 + y^2) e Q (x , y) = (x)/(x^2 + y^y)

Derivando,

(del P)/(del y) (x , y) = (- (x^2 + y^2) + y (2 x))/((x^2 + y^2)^2) = (- x^2 - y^2 + 2 x y)/((x^2 + y^2)^2)

E,

(del Q)/(del x) (x , y) = ((x^2 + y^2) - x (2 y))/((x^2 + y^2)^2) = ((x^2 + y^2) - x (2 y))/((x^2 + y^2)^2)

Colocando menos em evidencia,

(del Q)/(del x) (x , y) = ((x^2 + y^2) - x (2 y))/((x^2 + y^2)^2) = (- x^2 - y^2 + 2 x y)/((x^2 + y^2)^2)

Pra finalizar, temos que

(del Q)/(del x) (x , y) = (del P)/(del y) (x , y)

Fechooou!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:a) z = x 3 y
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:d) z = 4 - x 2 - y 2 ; P 0,0
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:c) w = 2 x 2 y 5 z
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:d) z = cos ⁡ ( x y ) + 4