Enunciado

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos a derivada de f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 na direção do vetor tangente unitário da hélice r ( t ) = ( c o s t ) i + ( s e n t ) j + t k nos pontos t = - (pi)/(4) , 0 , (pi)/(4) .

Passo 2

Começaremos o exercício encontrando o gradiente da função f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 e substituindo as componentes no vetor tangente unitário:

grad f = 2 x i + 2 y j + 2 z k = ( 2 c o s t ) i + ( 2 s e n t ) j + 2 t k

Temos então que o vetor v é:

v = ( - s e n t ) i + ( c o s t ) j + k

O vetor unitário então valerá:

[[,u,=,(v)/(| v |),=,(( - s e n t ) i + ( c o s t ) j + k)/(sqrt(( s e n t )^2 + ( c o s t )^2 + 1^2))],[,u,=,((- s e n t)/(sqrt(2))),i,+,((c o s t)/(sqrt(2))),j,+,(1)/(sqrt(2)),k]]

O valor da derivada na direção na direção do vetor dado é:

[[,(D_w f)_P_0,=,grad,f,*,u],[,(D_w f)_P_0,=,(,2,c,o,s,,t,),((- s e n t)/(sqrt(2))),+,(,2,s,e,n,,t,),((c o s t)/(sqrt(2))),+,(,2,t,),((1)/(sqrt(2)))],[,(D_w f)_P_0,=,(2 t)/(sqrt(2))]]

Resposta

aplicando os pontos dados em (D_u f)_P_0 = (2 t)/(sqrt(2)) temos então:

[[,(D_w f),((- pi)/(4)),=,(- pi)/(2 sqrt(2))],[,(D_u f),(,0,),=,0],[,(D_w f),((pi)/(4)),=,(pi)/(2 sqrt(2))]]

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