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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 52

Dada vec f (x , y , z) = (x^2 y , x + y , x z) , verificar que:

(del vec f)/(del x) (1 , 0 , 1) + (del vec f)/(del y) (1 , 0 , 1) = vec a

Onde vec a = underset((x , y , z) -> (1 , 1 , 1))(lim) vec f (x , y , z) .

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer aqui não é tããão complicado assim de enxergar, ok? Inicialmente precisamos descobrir as derivadas parciais da função que nos foi dada em relação a x e a y no ponto ( 1 , 0 , 1 ) . Se derivarmos nossa função, teremos o seguinte:

vec f (x , y , z) = (x^2 y , x + y , x z)

(del vec f)/(del x) (1 , 0 , 1) = (2 x y , 1 , z) => (del vec f)/(del x) (1 , 0 , 1) = (0 , 1 , 1)

Agora em relação a y :

(del vec f)/(del y) (1 , 0 , 1) = (x^2 , 1 , 0) => (del vec f)/(del y) (1 , 0 , 1) = (1 , 1 , 0)

Passo 2

Tudo bem, agora que encontramos as derivadas parciais no ponto em questão, temos que substituir na equação que nos foi dada, que é:

(del vec f)/(del x) (1 , 0 , 1) + (del vec f)/(del y) (1 , 0 , 1) = vec a

Substituindo o que encontramos:

(0 , 1 , 1) + (1 , 1 , 0) = vec a

:. vec a = (1 , 2 , 1)

Passo 3

No entanto, o enunciado nos diz que vec a = underset((x , y , z) -> (1 , 1 , 1))(lim) vec f (x , y , z) , então teremos que calcular esse limite para ver o resultado bate, se liga:

underset((x , y , z) -> (1 , 1 , 1))(lim) vec f (x , y , z) = underset((x , y , z) -> (1 , 1 , 1))(lim) (x^2 y , x + y , x z)

Substituindo os valores, teremos:

vec a = (1^2 . 1 , 1 + 1 , 1.1)

:. vec a = (1 , 2 , 1)

Sendo assim, fica provado que, de fato, vec a possui componentes (1 , 2 , 1) , assim como queríamos demonstrar! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja z = f ( x 2 - y 2 ) , onde f ( u ) é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que y ∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y = 0
Determine as derivadas parciais. z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2
Seja f : A ⊂ R 2 → R , A aberto e suponha que ∂ f ∂ x ( x , y ) existe para todo x , y ∈ A . Sejam x 0 ,y 0 e x 0 + h ,y 0 dois pontos de A . Prove que se o segmento de extremidades x 0 ,y 0 e x 0 + h
Seja x 0 ,y 0 um ponto do D f . Dizemos que x 0 ,y 0 é um ponto de máximo local de f (respectivamente, de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro em ( x 0 , y 0 ) , tal que para que todo x
Seja f : A ⊂ R 2 →R , A aberto, e suponha que f admite derivadas parciais em A . Seja x 0 ,y 0 ∈ A . Prove que se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y forem contínuas em x 0 ,y 0 , então f também será.