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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 35

Seja f : A ⊂ R 2 →   R , A aberto, e suponha que f admite derivadas parciais em A . Seja x 0 ,   y 0 ∈ A .   Prove que se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y forem contínuas em x 0 ,   y 0 , então f também será.

Passo 1

Você já sacou qual nosso objetivo? Não? Então, vou relembrar pra você, beleza ?

Olha, temos que uma função é contínua num ponto x 0 , y 0 quando lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = f x 0 , y 0

Então essa é nossa meta, certinho?

Vamos lá, então.

Passo 2

Vamos fazer uma tramoia aqui. A gente vai “somar zero” ou seja, somar algumas parcelas e retirá-las, para que não altere em nada nossas contas.

Perceba que

f x , y = f x , y + f x 0 y - f x 0 , y + f x 0 , y 0 - f x 0 ,   y 0

Passando o f x 0 , y 0   positivo para o outro lado, temos que

f x , y - f x 0 , y 0 = f x , y + f x 0 y - f x 0 , y - f x 0 ,   y 0

Vamos organizar as contas para fazer mais outra tramoia.

f x , y - f x 0 , y 0 = f x , y - f x 0 , y + [ f x 0 y - f x 0 ,   y 0 ]

Passo 3

A verdade é que não é bem uma tramoia, sabe ? A gente vai usar o teorema do valor médio nas parcelas, ou seja,

f x , y - f x 0 , y = ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 ( x - x 0 )

E

f x 0 , y - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Substituindo em nossas contas,

f x , y - f x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 y - y 0

Passo 4

Tomando o limite,

lim x , y → x 0 , y 0 [ ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 ]   =     l i m x , y → x 0 , y 0 ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 +     l i m x , y → x 0 , y 0 ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 y - y 0

Como as derivadas parciais são contínuas em x 0 , y 0 , temos que

lim x , y → x 0 , y 0 [ ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 ]   = ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x 0 - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 y 0 - y 0 = 0

Ou seja,

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = f x 0 , y 0

Portanto, f é contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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19. z = 2 x y + sen 2 ⁡ x y
12. z = a 2 - x 2 - y 2
29. Seja f x , y =5 x y 2 x 2 + y 2 0 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) s e x , y = ( 0,0 ) calcular f 1,2 - ∂ f ∂ x 1,2 + ∂ f ∂ y 1,2 - ∂ f ∂ x ( 0,0 ) .
26. z = x 2 + y 2 - ( x 2 + y 2 )
24. f u . v = u v - ln ⁡ ( u v )