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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 4b

Sejam F → ,   G → ,   H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que

F → ⋅ G → + H → = F → ⋅ G → + F → ⋅ H →

Passo 1

Nesse item vamos usar as funções F → , G → e H → , então vamos definir

F → t = a 1 t , b 1 t , c 1 ( t )

G → t = a 2 t , b 2 t , c 2 ( t )

H → t = a 3 t , b 3 t , c 3 ( t )

Partindo então do lado esquerdo da igualdade, precisamos do vetor G → + H →

G → + H → = a 2 + a 3 , b 2 + b 3 , c 2 + c 3

Calculando agora o produto vetorial

F → ⋅ G → + H → = a 1 t , b 1 t , c 1 t ⋅ a 2 + a 3 , b 2 + b 3 , c 2 + c 3

= a 1 a 2 + a 3 + b 1 b 2 + b 3 + c 1 c 2 + c 3

= a 1 a 2 + a 1 a 3 + b 1 b 2 + b 1 b 3 + c 1 c 2 + c 1 c 3

Separando os temos x 1 x 2 dos x 1 x 3 , sendo x = a , b , c , ficamos com

= a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + a 1 a 3 + b 1 b 3 + c 1 c 3

Perceba que podemos dividir essa soma em duas partes

= ( a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 ) + ( a 1 a 3 + b 1 b 3 + c 1 c 3 )

E temos um produto vetorial em cada parêntese

= a 1 , b 1 , c 1 ⋅ a 2 , b 2 , c 2 + a 1 , b 1 , c 1 ⋅ a 3 , b 3 , c 3

E como definimos as funções, temos que isso é igual a

= F → ⋅ G → + F → ⋅ H →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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