1. A área do círculo é dada por , sendo o raio do círculo e a do quadrado é dada por , sendo o lado do quadrado.

Consideramos então a soma dessas áreas como e é dada por .

Além disso, o comprimento do fio está divido entre as duas figuras. Logo a soma do perímetro delas compreende essa dimensão. Assim, podemos escrever que:

é o comprimento de uma circunferência.

é a soma dos quatros lados do quadrado.

Passo 2

Concluídas as nossas equações, precisamos manipula-las. Isolando na e substituindo seu valor na , temos que:

Passo 3

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável , que neste caso é a nossa variável . Assim, temos:

Logo, é um ponto crítico.

Passo 4

Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja uma função derivável num intervalo e um ponto crítico de neste intervalo, isto é, . Se admite a derivada em , temos:

1. Se
2. Se

Assim, calculando a segunda derivada de , temos:

Aplicando o ponto crítico calculado no passo anterior em

Portanto:

E assim:

1º Pedaço:

2º Pedaço:

Passo 5

2. Como não existe ponto de máximo na função, devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:

Como , devemos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio .