Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 1
Um fio de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.
- Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?
- Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
Passo 1
- A área do círculo é dada por , sendo o raio do círculo e a do quadrado é dada por , sendo o lado do quadrado.
- Se
- Se
- Como não existe ponto de máximo na função, devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:
Consideramos então a soma dessas áreas como e é dada por .
Além disso, o comprimento do fio está divido entre as duas figuras. Logo a soma do perímetro delas compreende essa dimensão. Assim, podemos escrever que:
é o comprimento de uma circunferência.
é a soma dos quatros lados do quadrado.
Passo 2
Concluídas as nossas equações, precisamos manipula-las. Isolando na e substituindo seu valor na , temos que:
Passo 3
Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável , que neste caso é a nossa variável . Assim, temos:
Logo, é um ponto crítico.
Passo 4
Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja uma função derivável num intervalo e um ponto crítico de neste intervalo, isto é, . Se admite a derivada em , temos:
Assim, calculando a segunda derivada de , temos:
Aplicando o ponto crítico calculado no passo anterior em
Portanto:
E assim:
1º Pedaço:
2º Pedaço:
Passo 5
Como , devemos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)