Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y = m x + b , pelo menos aproximadamente, para algum valor de m e de b . O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 ,… ,x n , y n , e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes m e b para que a reta y = m x + b “ajuste” os pontos tanto quanto possível (veja a figura).Seja d i = y i - m x i + b o desvio vertical do ponto x i , y i da reta. O método dos mínimos quadrados determina m e b de modo a minimizar ∑ i = 1 n d i 2 , a soma dos quadrados dos desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a reta de melhor ajuste é obtida quando m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i m ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i Assim, a reta é determinada resolvendo esse sistema linear de duas equações nas incógnitas m e b . (Veja a Seção 1.2 do Volume I para mais aplicações do método dos mínimos quadrados.)

Enunciado

Note que aqui as variáveis são e , e a função que queremos minimizar é:

Mas, como , teremos:

Show! Agora vamos determinar a derivada parcial de em relação a e igualá-la a :

Com isso, acabamos de mostrar a segunda equação que o enunciado nos pediu.

Agora, para mostrar a primeira equação, vamos determinar a derivada parcial de em relação a e igualá-la a :

Ei, a resposta está no passo a passo :)