Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 24
Demonstre que a série obtida no Exercício 7 representa para todo .
Passo 1
Boa tarde galera, tudo bom ? Precisamos demosntrar que a seguinte igualdade é verdadeira para qualquer valor de
Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se
, então
Como o centro é
Lembrando que é o valor que limita superiormente a derivada da função dentro do intervalo de convergência.
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , como temos se derivarmos varias vezes, chegaremos em ou , mas como temos uma constante multiplicando no argumento, pela regra da cadeia, sempre que derivarmos vamos multiplicar essa constante, então se derivarmos uma vez
Se derivarmos novamente
Então de forma geral
ou
Como queremos a derivada em módulo, não precisamos nos preocupar com os sinais. Então precisamos achar
, de modo geral as funções seno e cosseno em módulo são , então se multiplicarmos por serão , portando podemos dizer que e usamos
Passo 3
Então na desigualdade temos
Como é um valor positivo, podemos colocar ele dentro do módulo para juntarmos as potencias de
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão, podemos dizer que ele vai para , então por comparação temos que
Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
A série
representa a função para todo