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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 36

A função de Bessel de ordem 1 é definida por

J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

  1. Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial

    2. x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0

  2. Mostre que J 0 ' x = - J 1 ( x )

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

A questão nos deu uma função de Bessel de ordem 1 definida dessa forma:

J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

E pede pra gente mostrar, no item (a), se essa função de Bessel satisfaz a equação diferencial dada, que é essa aqui, ó:

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0

Onde J 1 ' é a primeira derivada da função e J 1 ' ' a segunda derivada que iremos fazer.

Já no item (b), devemos mostrar que a derivada primeira de Bessel de ordem 0 é igual a função negativa de Bessel de ordem 1.

Moleza, né?

Passo 2

(a) Temos a função de Bessel de ordem 1 e podemos expandir um pouco mais.

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 = x 2 - x 3 2 ! 2 3 + x 5 2 ! 3 ! 2 5 - x 7 3 ! 4 ! 2 7 + …

Para comparar com a equação diferencial, vamos ter que derivar a função duas vezes

J 1 ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 = 1 2 - 3 x 2 2 ! 2 3 + 5 x 4 2 ! 3 ! 2 5 - 7 x 6 3 ! 4 ! 2 7 + …

J 1 ' ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 2 n x 2 n - 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 = - 3 ⋅ 2 x 2 ! 2 3 + 5 ⋅ 4 x 3 2 ! 3 ! 2 5 - 7 ⋅ 6 x 5 3 ! 4 ! 2 7 + …

Substituindo na equação

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x

= x 2 - 3 ⋅ 2 x 2 ! 2 3 + 5 ⋅ 4 x 3 2 ! 3 ! 2 5 - 7 ⋅ 6 x 5 3 ! 4 ! 2 7 + … + x 1 2 - 3 x 2 2 ! 2 3 + 5 x 4 2 ! 3 ! 2 5 - 7 x 6 3 ! 4 ! 2 7 + … + x 2 - 1 x 2 - x 3 2 ! 2 3 + x 5 2 ! 3 ! 2 5 - x 7 3 ! 4 ! 2 7 + …

= - 3 ⋅ 2 x 3 2 ! 2 3 + 5 ⋅ 4 x 5 2 ! 3 ! 2 5 - 7 ⋅ 6 x 7 3 ! 4 ! 2 7 + … + 1 2 x - 3 x 3 2 ! 2 3 + 5 x 5 2 ! 3 ! 2 5 - 7 x 7 3 ! 4 ! 2 7 + …

+ x 3 2 - x 5 2 ! 2 3 + x 7 2 ! 3 ! 2 5 - x 9 3 ! 4 ! 2 7 + … - x 2 - x 3 2 ! 2 3 + x 5 2 ! 3 ! 2 5 - x 7 3 ! 4 ! 2 7 + …

Passo 3

Agora essa parte não é muito legal, vamos ter que colocar x n em evidencia para potencias n iguais e tentar achar um padrão que se repete, é um trabalho chatinho mas fé que a gente chega no final.

= 1 2 - 1 2 x + - 3 ⋅ 2 2 ! 2 3 - 3 2 ! 2 3 + 1 2 + 1 2 ! 2 3 x 3 + 5 ⋅ 4 2 ! 3 ! 2 5 + 5 2 ! 3 ! 2 5 - 1 2 ! 2 3 - 1 2 ! 3 ! 2 5 x 5 + - 7 ⋅ 6 3 ! 4 ! 2 7 - 7 3 ! 4 ! 2 7 + 1 2 ! 3 ! 2 5 + 1 3 ! 4 ! 2 7 x 7 + …

O primeiro termo de cara já zera, agora temos que provar que os outros também zeram. Olhando para x 3

- 6 2 ! 2 3 - 3 2 ! 2 3 + 1 2 + 1 2 ! 2 3

Somando os temos com mesmo denominador

= - 8 2 4 + 1 2 = - 2 3 2 4 + 1 2 = - 1 2 + 1 2 = 0

Olhando para x 5

20 2 ! 3 ! 2 5 + 5 2 ! 3 ! 2 5 - 1 2 ! 2 3 - 1 2 ! 3 ! 2 5 = 24 2 ! 3 ! 2 5 - 1 2 ! 2 3

Podemos substituir 24 = 4 ! = 4 ⋅ 3 !

= 4 ⋅ 3 ! 2 ! 3 ! 2 5 - 1 2 ! 2 3 = 2 2 2 ! 2 5 - 1 2 ! 2 3

= 1 2 ! 2 3 - 1 2 ! 2 3 = 0

Olhando agora para x 7

- 42 3 ! 4 ! 2 7 - 7 3 ! 4 ! 2 7 + 1 2 ! 3 ! 2 5 + 1 3 ! 4 ! 2 7 = - 48 3 ! 4 ! 2 7 + 1 2 ! 3 ! 2 5

Podemos substituir 48 = 2 ⋅ 24 = 2 ⋅ 4 !

= - 2 ⋅ 4 ! 3 ! 4 ! 2 7 + 1 2 ! 3 ! 2 5 = - 2 3 ! 2 7 + 1 3 ! 2 6

= - 1 3 ! 2 6 + 1 3 ! 2 6 = 0

De fato todos os coeficientes estão zerando e se continuarmos vamos ver que de fato a função de Bessel de ordem 1 é solução da equação

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0

Passo 4

(b) Derivando J 0

J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2

J 0 ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 2 n n ! 2

Se reindexarmos substituindo n = k + 1

= ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) - 1 2 2 ( k + 1 ) ( k + 1 ) ! 2 = ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 2 ( k + 1 ) x 2 k + 1 2 2 k + 2 ( k + 1 ) ! 2

Separando ( k + 1 ) ! 2 em ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) !

= ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 ( k + 1 ) x 2 k + 1 2 2 k + 1 ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) ! = ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 k + 1 2 2 k + 1 ( k + 1 ) ! k !

Se tirarmos um menos do - 1 k + 1

∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 k + 1 2 2 k + 1 ( k + 1 ) ! k ! = - ∑ k = 0 ∞ - 1 k x 2 k + 1 2 2 k + 1 ( k + 1 ) ! k !

= - J 1 ( x )

Resposta

  1. A função de Bessel de ordem 1 é solução da equação

    2. x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + x 2 - 1 J 1 x = 0

  2. A derivada primeira de Bessel de ordem 0 é igual a função negativa de Bessel de ordem 1.

J 0 ' x = - J 1 ( x )

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