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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 36

A derivada de ƒ(x, y, z) em um ponto P é máxima na direção de v = i + j – k. Nessa direção, o valor da derivada é 2 3 .

a. Quem é ∇ f em P? Justifique sua resposta.

b. Qual é a derivada de ƒ em P na direção de i + j?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! No item a), vamos achar o gradiente da nossa função. Ora, ela é dada por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

Dessa forma, a questão já nos entrega que:

D u f P = 2 3

Isso significa que:

D u f P = ∇ f = 2 3

Mas sabe o vetor gradiente, definido por u ?

Ele é dado por:

u = v v

Dessa forma,

f = 2 i + 2 j - 2 k

Passo 2

Para o item b), vamos aplicar o valor do vetor, já que sabemos como o vetor u se comporta! Logo,

v = i + j

Logo,

u = v v

E a derivada aplicada é dada por:

D u f p 0 = ∇ f ⋅ u = 2 1 2 + 2 1 2 - 2 0 = 2 2

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

f = 2 i + 2 j - 2 k

D P 0 = 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o gradiente de f .Calcule o gradiente no ponto P .Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u f x , y , z = x e 2 y z P 3,0 , 2 u = 2 3 ,- 2 3 , 1 3
Seja f (x , y) = x^2 - y^2 . Represente geometricamente grad f (x_0 , y_0) , sendo(x_0 , y_0) = (1,1)
Calcule grad f (x , y) sendo f (x , y) = x^2 y
Calcule grad f (x , y) sendo f (x , y) = (x)/(y)
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2