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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 8

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente de no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → .

f x , y = y 2 x ,                     P 1 ,   2 ,               u → = 1 3 2 ,   5

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão nós temos a função

f x , y = y 2 x

e queremos determinar o seu gradiente, ∇ f ( x , y ) , o seu gradiente em um ponto P ( 1,2 ) e a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → ,   dado por

u → = 1 3 2 , 5

O gradiente de f , ∇ f , como vimos nos exercícios anteriores é

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Após calcular o gradiente para qualquer ponto ( x , y ) , substituiremos o ponto P ( 1,2 ) .

Após isso, queremos saber a derivada direcional de f no ponto P ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Aqui é importante ressaltar que u → deve ser um vetor unitário, pois queremos projetar o gradiente na direção dele.

Essa projeção dará a taxa de variação de f na direção de u → , então não queremos que o módulo de u → entre junto nessa taxa, beleza?

Passo 2

Tomando o gradiente de f :

Derivando com relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y 2 x

∂ f ∂ x = - y 2 x 2

Derivando com relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y 2 x

∂ f ∂ y = 2 y x

Então,

∇ f x ,   y = - y 2 x 2 , 2 y x

Assim, com a ,   b = ( 1 ,   2 ) :

∇ f 1 ,   2 = ( - 4 ,   4 )

Passo 3

Note que como u → já é unitário, a derivada direcional será

D u f 1 ,   2 = - 4 ,   4 ⋅ 2 3 , 5 3

Portanto,

D u f 1 ,   2 = 4 5 - 8 3

Resposta

∇ f x ,   y = - y 2 x 2 , 2 y x

∇ f 1 ,   2 = ( - 4 ,   4 )

D u f 1 ,   2 = 4 5 - 8 3

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