a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = y 2 x , P 1 ,2 ,u → = 1 3 2 ,5

∇ f x ,y = - y 2 x 2 , 2 y x ∇ f 1 ,2 = ( - 4 ,4 ) D u f 1 ,2 = 4 5 - 8 3

Enunciado

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão nós temos a função

e queremos determinar o seu gradiente, , o seu gradiente em um ponto e a taxa de variação de em na direção do vetor dado por

O gradiente de , , como vimos nos exercícios anteriores é

Após calcular o gradiente para qualquer ponto , substituiremos o ponto .

Após isso, queremos saber a derivada direcional de no ponto em uma direção qualquer é dada por

Aqui é importante ressaltar que deve ser um vetor unitário, pois queremos projetar o gradiente na direção dele.

Essa projeção dará a taxa de variação de na direção de , então não queremos que o módulo de entre junto nessa taxa, beleza?

Tomando o gradiente de :

Derivando com relação a :

Então,

Assim, com :

Note que como já é unitário, a derivada direcional será

Portanto,