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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 11

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = e x   s e n   y ,                     0 , π 3 ,               v → = ( - 6 ,   8 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão é bem direta: Ela nos dá uma função f x , y e pede para encontrarmos a derivada na direção v → quando x ,   y = 0 , π / 3 !

Mas como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas de cara a gente vê que v → não é unitário, então nosso checklist vai ser:

Normalizar v → ;

Encontrar o gradiente de f ;

Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para normalizar um vetor nós o dividimos pelo tamanho dele

u → = v → v →

Tamanho esse dado por:

v → = 36 + 64

v → = 10

De forma que

u → = - 6 10 ,   8 10

Simplificando

u → = - 3 5 , 4 5

Passo 3

O gradiente ∇ f de uma função f é o conjunto de suas derivadas parciais. Nesse caso temos f x e f y !

Para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante, de forma que

∂ f ∂ x = s e n   y ∂   e x ∂ x  

f x = e x   s e n   y

Da mesma forma, agora vamos encontrar f y

∂ f ∂ y = e x ∂   s e n   y ∂ y  

f y = e x   c o s   y

De forma que

∇ f x ,   y = e x   s e n   y ,   e x cos ⁡ y

Assim, substituindo o ponto a ,   b = ( 0 ,   π / 3 )

∇ f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2

Portanto, após substituir esses dados na equação da derivada direcional

D u f 0 , π 3 = 3 2 , 1 2 ⋅ - 3 5 , 4 5

Logo,

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

Resposta

D u f 0 , π 3 = 4 - 3 3 10

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