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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 7

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente de no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → .

f x , y = s e n   2 x + 3 y ,                     P - 6 ,   4 ,               u → = 1 2 3 ,   - 1

Passo 1

Oie, vamos resolver juntinhos essa atividade.

A questão pede para calcular o gradiente de f e sua derivada direcional num ponto P ( a ,   b ) na direção do vetor u → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Onde o gradiente de f é dado por:

∇ f = f x ,   f y

Passo 2

  1. Tomando o gradiente de f :

    2. f x , y = s e n   2 x + 3 y

    Veja que deveremos aplicar aqui a regra da cadeia para derivar:

    f x = sin ⁡ g x ' ⋅ 2 x + 3 y '

    f x = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y

    Agora iremos para f y :

    f y = sin ⁡ g y ' ⋅ 2 x + 3 y '

    f y = 3 cos ⁡ 2 x + 3 y

    Então nosso vetor gradiente é:

    ∇ f x ,   y = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y ,   3 cos ⁡ 2 x + 3 y

    Passo 3

  2. Vamos substituir o ponto no gradiente que encontramos:

    3. Assim, com a ,   b = ( - 6 ,   4 ) :

    ∇ f - 6 ,   4 = ( 2 ,   3 )

    Passo 4

Desta forma, a derivada direcional será:

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

D u f - 6 ,   4 = 2 ,   3 ⋅ 3 2 , - 1 2

Portanto, desenvolvendo o produto escalar:

D u f - 6,4 = 2 ⋅ 3 2 + - 1 2 ⋅ 3

Temos então nossa resposta:

D u f - 6 ,   4 = 3 - 3 2

Resposta

∇ f x ,   y = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y ,   3 cos ⁡ 2 x + 3 y

∇ f - 6 ,   4 = ( 2 ,   3 )

D u f - 6 ,   4 = 3 - 3 2

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