a) Determine o gradiente de .
b) Calcule o gradiente de no ponto .
c) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Passo 1
Oie, vamos resolver juntinhos essa atividade.
A questão pede para calcular o gradiente de e sua derivada direcional num ponto na direção do vetor .
A derivada direcional de num ponto em uma direção qualquer é dada por
Onde o gradiente de é dado por:
Passo 2
- Tomando o gradiente de :
- Vamos substituir o ponto no gradiente que encontramos:
Veja que deveremos aplicar aqui a regra da cadeia para derivar:
Agora iremos para :
Então nosso vetor gradiente é:
Passo 3
Assim, com :
Passo 4
Desta forma, a derivada direcional será:
Portanto, desenvolvendo o produto escalar:
Temos então nossa resposta: