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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 12b

12. Descreva o domínio e as superfícies de nível das funções abaixo.

a) f x , y , z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 - 1 )

Passo 1

Vamos começar descrevendo o domínio de f x , y , z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 - 1 ) .Como essa função é uma função logarítmica, o problema de definição que pode ocorrer e se o argumento for menor ou igual a 0 . Isto é:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 > 0 ↔ x 2 + y 2 + z 2 > 1

Então temos que nosso domínio é: D f = ( x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 > 1 .

Agora para esboçar as superfícies de nível, vamos lembrar o que são. Uma superfície de nível é o conjunto dos pontos: f x , y , z = c = ln ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 - 1 ) ↔ x 2 + y 2 + z 2 = e c + 1 .

Esse tipo de superfície são esferas centradas em C = ( 0 ,   0 ,   0 ) e de raio r = e c + 1 . Sendo assim, as superfícies de nível são da seguinte forma (nesse exemplo foi usado c = 1 ) :

Resposta

Análise acima.

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Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:f) f x , y = 2 x + 5 y - 4
Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: z = 3 - x - y
Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:c) z = 9 - ( x 2 + y 2 )
Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:h) f x , y = 2 x 2 + 5 y
Determinar o domínio das seguintes funções e representa-las graficamente:a) z = x y