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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 42

Utilize coordenadas esféricas para calcular

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 ∫ - 4 - x 2 - y 2 4 - x 2 - y 2 y 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2   d z   d x   d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bem com vocês? Então, como a questão nos pede pra fazer uma mudança de variável para coordenadas esféricas temos que identificar qual a região do hemisfério do sólido.

Vamos ver como z é descrito pelos limites de integração:

- 4 - x 2 - y 2 ≤ z ≤   4 - x 2 - y 2

Temos que escrever uma função de z a partir disso, e então conseguiremos fazer as mudanças de variáveis para coordenadas esféricas utilizando o Jacobiano. Por último é só resolver a integral.

Vamos tentar??

Passo 2

Veja que se:

- 4 - x 2 - y 2 ≤ z ≤   4 - x 2 - y 2

Então temos que:

z =   ±   4 - x 2 - y 2

Sendo assim:

z 2 = 4 - x 2 - y 2

Isolando 4

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Pelos limites de integração podemos ver que

  x ≥ 0

Vemos que a região de integração é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 .

Passo 3

Devemos lembrar como faz a mudança de variável de cartesiana para esférica e, para isso, basta seguirmos as transformações:

z = ρ ⋅ cos ⁡ θ

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

Enquanto a fórmula para a para integração tripla para coordenadas esféricas é a seguinte:

∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ d θ d ϕ

Repare que o termo:

f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,   ρ cos ⁡ ϕ

Significa que haverá uma função desses termos, que é a seguinte expressão:

y 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2

Transformada em coordenadas esféricas.

Passo 4

Pois bem, feito isso podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 ∫ - 4 - x 2 - y 2 4 - x 2 - y 2 y 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2   d z   d x   d y

Transformando teremos:

y 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 =   ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ 2 ⋅ ρ 2

Aplicando a transformação para os limites de integração:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ 2 ⋅ ρ 2 ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ =

∫ π 2 π 2 sin 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 π sin 3 ⁡ ϕ   d ϕ   ∫ 0 2 ρ 5   d ρ =

θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 - π 2 π 2 ⋅ - 1 3 ⋅ 2 + sin 2 ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ ϕ 0 π ⋅ ρ 6 6 0 2 = π 2 ⋅ 2 3 + 2 3 ⋅ 32 3 = 64 π 9

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

64 π 9

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