64. Descreva as superfícies de nível da função

f(x, y, z) = x^2 - y^2

Passo 1

A função que ele nos dá é a seguinte:

f (x , y , z) = x^2 - y^2

Para descrever as superfícies de nível da função, basta fazermos o seguinte:

f (x , y , z) = k

E analisarmos para determinados valores de k

Passo 2

f (x , y , z) = x^2 - y^2 = k

Para k = 0 :

x^2 - y^2 = 0

Logo,

x^2 = y^2 -> |x| = |y|

Assim,

x = +- y

Nesse caso, temos um par de retas y = x e y = - x

Passo 3

Para k != 0 :

x^2 - y^2 = k

Dividindo por k nos dois lados:

(x^2)/(k) - (y^2)/(k) = 1

Para cada valor de k , a equação acima representa um cilíndrico hiperbólico. Logo, para k != 0 f (x , y , z) representará uma família de cilíndricos hiperbólicos.

Resposta

Se k = 0 , x^2 = y^2 -> x = +- y , ou seja, par retas no plano x y .

Se k != 0 , (x^2)/(k) - (y^2)/(k) = 1 , ou seja, uma família de cilindros hiperbólicos.

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