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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 4a

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também os ponrots em que esses valores são atingidos

f x , y = x - 1 2 + y - 1 ² + 3   e   A = I R ²

Passo 1

Verificar os pontos críticos dentro da região:

f x , y = x - 1 2 + y - 1 ² + 3

f x , y = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 3

f x , y = x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 5

∇ f x x , y = 2 x - 2

∇ f y x , y = 2 y - 2

∇ f x , y = ( 2 x - 2 , 2 y - 2 )

Passo 2

Igualar os pontos críticos a zero:

∇ f x , y = ( 2 x - 2,2 y - 2 )

∇ f x x , y = 2 x - 2 = 0

x = 1

∇ f y x , y = 2 y - 2 = 0

y = 1

Passo 3

Aplicar os pontos críticos encontrados:

f x , y = x - 1 2 + y - 1 ² + 3

x = 1

y = 1

f 1 , 1 = x - 1 2 + y - 1 ² + 3

f 1,1 = 3

Resposta

f 1,1 = 3 é o valor mínimo de f. A função não possui máximo, cresce infinitamente.

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