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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 6

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = e x 2 - y 2

( 1 ,   - 1 ,   1 )

Passo 1

Show de bola, galera. A gente tem aqui uma questão de planos tangentes, vamos lá!

A questão nos dá a função z e um ponto ( 1 ,   - 1 ,   1 ) , mas como encontrar essa equação?

Para uma função f x , y = z com derivadas parciais contínuas, podemos descrever a equação do plano tangente no ponto x 0 , y 0 , z 0 como:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Dessa forma, só precisamos encontrar as derivadas parciais f x e f y para substituir nessa equação e teremos nossa resposta!

Passo 2

Para encontrar f x , tratamos y como constante e derivamos em relação a x , de forma que

∂ f ∂ x = d e x 2 - y 2 d x

Que por sua vez pode ser resolvida com a regra da cadeia!

Relembrando:

A regra da cadeia nos diz que para uma função

w = f g ( x )

A sua derivada é dada por

d w d x = d f u d u ⋅ d g x d x  

De forma que

∂ f ∂ x = d e u d u ⋅ d ( x 2 - y 2 ) d x

f x = 2 x ⋅ e x 2 - y 2

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) nós temos

f x 1 ,   - 1 = 2

Da mesma forma, para encontrar f y , tratamos x como constante e derivamos em relação a y , de forma que

∂ f ∂ y = d e x 2 - y 2 d y

∂ f ∂ y = d e u d u ⋅ d ( x 2 - y 2 ) d y

f y = - 2 y ⋅ e x 2 - y 2

Substituindo os valores do ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) nós temos

f y 1 ,   - 1 = 2

Passo 3

Agora que temos todos os dados necessários, podemos substituir tudo na fórmula!

De forma que a nossa equação do plano tangente é:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - 1 = 2 ⋅ x - 1 + 2 ⋅ ( y + 1 )

z - 1 = 2 x + 2 y

z = 2 x + 2 y + 1

Resposta

z = 2 x + 2 y + 1

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