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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1j

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 4 + y 4 + 4 x + 4 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x = 4 x 3 + 4 = 0                                       ∂ f ∂ y = 4 y 3 + 4 = 0    

∂ f ∂ x = x 3 = - 1                                       ∂ f ∂ y = y 3 = - 1    

- 1 , - 1 é   u m   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 4 + y 4 + 4 x + 4 y

∂ f ∂ x = 4 x 3 + 4                                       ∂ f ∂ y = 4 y 3 + 4                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 0        

∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y 2

H x , y = 12 x 2 0 0 12 y 2 = 144 x 2 y 2 = >   H - 1 , - 1 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

Resposta

- 1 , - 1 é mínimo local.

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