Desenhe a curva de nível da função mostrando vários níveis.

f(x, y) = ln(x^2 + 4y^2)

Passo 1

A função representada possui duas variáveis, o que significa que ela existe como superfície em um espaço tridimensional. Para cada valor de x e y existe um z = f x , y .

Para a melhor compreensão desse capítulo, no entanto estamos trabalhando o comportamento dessas funções no plano x y .

Para encontrarmos as curvas de nível de uma função de duas variáveis, fazemos

f x , y = k

Desse modo conseguimos avaliar o recorte da função para o valor de z = k constante. Ou seja, no plano x y , para cada k escolhido teremos um nível.

Nesta questão iremos encontrar como se comporta a função para esse valor fixo e em seguida esboçar um plano contendo as curvas de nível.

Passo 2

Igualando a função dada a uma constante k , temos:

ln ⁡ x 2 + 4 y 2 = k

x 2 + 4 y 2 = e k

x 2 e k 2 + y 2 e k / 2 2 = 1

Ou seja, teremos uma família de elipses cada vez maiores conforme k aumenta para k > 0 .

Para valores menores de k e k < 0 , teremos elipses cada vez menores.

Passo 3

Com posse da análise feita no passo 2, podemos traçar algumas curvas de nível, onde a cor mais escura representa níveis mais baixos da função.

Resposta

As curvas de nível da função dada são elipses cada vez maiores, conforme k aumenta para k > 0 . Conforme k aumenta para valores negativos, teremos elipses cada vez menores.

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