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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 3

Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função.

f x , y = x + 1 2 + y ² + x - 1 2 + y ²

Passo 1

Opaaa... beleza??

Nessa questão vamos primeiro desenhar as curvas de nível. Pra isso vamos chamar:

k = f x , y

E depois vamos esboçar o gráfico.

Também vamos precisar lembrar que a fórmula da elipse é:

2 a = d P , F 1 + d P , F 2

Onde P é um ponto qualquer da elipse e F 1 e F 2 são os focos.

E que também pode ser escrita como:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Igualando:

k = x + 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2

Repara que temos a soma de duas raízes. Ohhh.. lembra que raiz é sempre positivo?? Então podemos dizer que c é sempre maior ou igual a zero, certo?

k ≥ 0

Agora vamos pegar um pouco pesado nas lembraças de Geometria Analítica, ok? Maaas vamos devagarzinho.

Lembra que a distância entre dois pontos, P x , y e Q x 0 , y 0 , é dada por:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Ohhh... temos coisas bem parecidas, né? Duas distâncias no lado direito da equação.

Pra primeira:

d 1 = x + 1 2 + y 2

d 1 = x - - 1 2 + y - 0 2

Então os pontos são P x , y e Q 1 - 1,0 .

E pra segunda:

d 2 = x - 1 2 + y - 0 2

Então os pontos são P x , y e Q 2 1,0 .

Então podemos reescrever a equação lá e cima como:

k = x + 1 2 + y 2 + x - 1 2 + y 2

k = d P , Q 1 + d P , Q 2

Passo 3

Uaiii.. essa é bem a equação de uma elipse, né? Se a gente mudar a letra Q pra F (só pra ficar bonitinho):

k = d P , F 1 + d P , F 2

E chamar k = 2 a :

2 a = d P , F 1 + d P , F 2

Ohhhh... a belíssima equação da elipse.

Pois muito que bem... A gente já descobriu que é uma elipse, maaas a gente não sabe se ela é deitadinha ou em pé. Se ela ta centrada no ponto (0,0) ou não...

Maaas repara que a gente tem os focos F 1 - 1,0 e F 2 1,0 . Se plotarmos esses pontos:

Como os focos estão no eixo x , então sabemos que ela é uma elipse deitada e que está centrada no ponto 0,0 .

Passo 4

Bom... agora já dá pra gente fazer um monte de curva de nível.

Como também sabemos que a equação da elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Poo... mas não temos a e nem   b . Como vamos fazer??

A gente tem o foco que é: F 1 - c , 0 e F 2 c , 0 .

Então temos que:

c = 1

Oppa... e pra relacionar isso com a e b :

a 2 = b 2 + c 2

A gente vai atribuindo valores a a e calculando os b ’s. Daí é só ir desenhando no gráfico, já que 2 a   é a distância de uma extremidade à outra no eixo x e 2 b é a distância de uma extremidade à outra no eixo y .

Pra a = 2 :

2 2 = b 2 + 1 2

4 = b 2 + 1

b = 3

Pra a = 3 :

3 2 = b 2 + 1 2

9 = b 2 + 1

b = 2 2

Pode até adicionar mais curvas e nem precisa de tanta exatidão, já que é só um esboço.

Passo 5

Desiste não... Bora fazer esse bendito esboço de gráfico.

Vamos testar em y = 0 (que é o plano x z ) como a nossa função fica:

f x , 0 = x + 1 2 + 0 ² + x - 1 2 + 0 ²

Chamando f x , 0 = z :

z = x + 1 2 + x - 1 2

z = x 2 + 2 x + 1 + x 2 - 2 x + 1

z = x 2 + 2

Deu uma parábola, né?? (mas suuuuper atenção porque essa parábila é só quando y = 0 , ok??

E quando x = 0 (que é no plano y z ):

f 0 , y = 0 + 1 2 + y ² + 0 - 1 2 + y ²

z = 2 y 2 + 1

z 2 = y 2 + 1

z 2 4 = y 2 + 1

z 2 4 - y 2 = 1

E isso é uma hipérbole.

Passo 6

Temos a cara da função no eixo x y , que são as elipses que usamos pra fazer as curvas de nível. Temos a cara no eixo x z , que é a parábola. E temos a cara no eixo y z , que é a hipérbole.

Juntando tudo, ficamos com:

(Juuuro que se você fizer isso à mão, vai conseguir enxergar bem melhor =S)

E o gráfico fica:

Misericórdia... Acabamos essa. Vamos beber uma água é partir pra próxima??

Resposta

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