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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 1c

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f x = 4 x 2 - 3 x + 2

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal. Beleza, vamos começar calculando o limite. Antes de tudo, vamos fatorar o denominador pra deixar ele mais bonitinho.

f x = 4 x 2 - 3 x + 2 = 4 x - 2 x - 1

Pro positivo:

lim x → + ∞ ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 ∞ × ∞ = 0

Pro negativo:

lim x → - ∞ ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 - ∞ × - ∞ = 0

Beleza, então encontramos a assíntota horizontal:

y = 0

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = 2 e no x = 1 , né? Vamos calcular os limites nesses x então!

Para x → 2 + :

lim x → 2 + ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 0 + × 1 + = 4 0 + = + ∞

Para x → 2 - :

lim x → 2 - ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 0 - × 1 - = - ∞

Então realmente, a reta x = - 2 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Para x → 1 + :

lim x → 1 + ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 - 1 + × 0 + = 4 - 0 + = - ∞

Para x → 1 - :

lim x → 1 - ⁡ 4 x - 2 x - 1 = 4 - 1 - × 0 - = 4 - 0 - = + ∞

Então realmente, a reta x = 1 é uma assíntota vertical, porque pra esse valor a função vai pro infinito.

Resposta

As assíntotas são x = 2 , x = 1 e y = 0 .

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