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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 27

Determinar as derivadas parciais (del w)/(del u) e (del w)/(del v) .

  1. w = x^2 + 2 y^2 - z^2 , x = 2 u v , y = u + v , z = u - v
  2. w = x y + x z + y z , x = u^2 - v^2 , y = u v , z = (u - v)^2

Passo 1

Vamos lá pra letra (a)! Derivando a função w em relação a u , temos:

(del w)/(del u) = (del w)/(del x) * (del x)/(del u) + (del w)/(del y) * (del y)/(del u) + (del w)/(del z) * (del z)/(del u)

(del w)/(del u) = 2 x (2 v) + 4 y (1) - 2 z (1) = 4 x v + 4 y - 2 z

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

(del w)/(del u) = 4 (2 u v) v + 4 (u + v) - 2 (u - v)

(del w)/(del u) = 8 u v^2 + 4 u + 4 v - 2 u ∓ 2 v

(del w)/(del u) = 8 u v^2 + 2 u + 6 v

Agora, derivando em relação a v , temos:

(del w)/(del v) = (del w)/(del x) * (del x)/(del v) + (del w)/(del y) * (del y)/(del v) + (del w)/(del z) * (del z)/(del v)

(del w)/(del v) = 2 x (2 u) + 4 y (1) - 2 z (- 1)

(del w)/(del v) = 4 x u + 4 y + 2 z

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

(del w)/(del v) = 4 u (2 u v) + 4 (u + v) + 2 (u - v)

(del w)/(del v) = 8 u^2 v + 4 u + 4 v + 2 u - 2 v

(del w)/(del v) = 8 v u^2 + 6 u - 2 v

Passo 2

Vamos para a letra (b)! Derivando w em relação a u

(del w)/(del u) = (del w)/(del x) * (del x)/(del u) + (del w)/(del y) * (del y)/(del u) + (del w)/(del z) * (del z)/(del u)

(del w)/(del u) = (y + z) 2 u + (x + z) v + (x + y) 2 (u - v)

(del w)/(del u) = 2 u y + 2 u z + x v + z v + 2 u x + 2 u y - 2 v x - 2 v y

(del w)/(del u) = 4 u y + 2 u z - x v + z v + 2 u x - 2 v y

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

(del w)/(del u) = 2 v^3 + 4 u^3 - 4 u v^2

Agora, derivando em relação a v , temos:

(del w)/(del v) = (del w)/(del x) * (del x)/(del v) + (del w)/(del y) * (del y)/(del v) + (del w)/(del z) * (del z)/(del v)

(del w)/(del v) = (y + z) (- 2 v) + (x + z) u + (x + y) 2 (u - v) (- 1)

(del w)/(del v) = - 2 y v - 2 z v + x u + z u - 2 u x - 2 u y + 2 v x + 2 v y

(del w)/(del v) = - u x - 2 z v + z u - 2 u y + 2 v x

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

(del w)/(del v) = - 4 v^3 - 4 u^2 v + 6 u v^2

Resposta

  1. (del w)/(del u) = 8 u v^2 + 2 u + 6 v ; (del w)/(del v) = 8 v u^2 + 6 u - 2 v .
  2. (del w)/(del u) = 2 v^3 + 4 u^3 - 4 u v^2 ; (del w)/(del v) = - 4 v^3 - 4 u^2 v + 6 u v^2 .
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Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :b) f x , y = 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f x , y = arctan ⁡ 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f x , y = e x 2 - y 2
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )